Równanie liczb zespolonych

[studencik12]

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ z ^{3} = i|z|}\)
Proszę o pomoc, nie wiem jak zacząć.

[a4karo]

Zacznij od wzoru Eulera. Skończ na nim i włącz myślenie.

[studencik12]

Niestety nie potrafię zacząć tego zadania. Nie chodzi mi o rozwiązanie tylko pokazanie nawet na innym przykładzie jak to się robi, korzystając z wzoru Eulera, niestety nie znalazłem podobnego zadania które było by opisane.

[a4karo]

\(\displaystyle{ z=r(\cos\phi +i\sin\phi)}\)

[Medea 2]

Wskazówka. Skoro \(\displaystyle{ z^3 = i |z|}\), to \(\displaystyle{ |z^3| = |z|^3 = |i|z|| = |z|}\), czyli \(\displaystyle{ |z| \cdot (|z| - 1) \cdot (|z| + 1) = 0}\). Co możesz powiedzieć o \(\displaystyle{ |z|}\)? A o \(\displaystyle{ z}\)? Myśl geometrycznie.

[studencik12]

nie wiem czy dobrze myślę, ale
\(\displaystyle{ z=(|z|,\phi)}\) a |z| to odległość z od 0

-- 13 wrz 2015, o 21:26 --

Wolfram Alpa pokazuje rozwiązania:
\(\displaystyle{ z=0}\)

\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2}* ( -\sqrt{3} +i)}\)

\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2}* ( \sqrt{3} +i)}\)-- 14 wrz 2015, o 16:34 --Dziękuję bardzo, ale mam pytanie mianowicie zrobiłem to zadanie w następujący sposób i mam błąd, mógłbyś mi wytłumaczyć gdzie ?
założenia
\(\displaystyle{ 0\le\phi<2\pi}\) ;
\(\displaystyle{ r>0}\)

\(\displaystyle{ z^3}\)=i|z|
\(\displaystyle{ r^{3}*e^{3i\phi}=i*r*e^{i*0}}\)
\(\displaystyle{ r(r^{2}-1)=0 => r=0 \cup r=1}\)
\(\displaystyle{ e^{3i\phi}=e^{i*0} => 3\phi= 0+2K\pi}\), \(\displaystyle{ K\in C}\)
\(\displaystyle{ \phi = \frac{2k\Pi}{3}}\)
zgodnie z założeniami K może
równać się tylko 0,1,2
\(\displaystyle{ z=r(cos\phi + i*sin\phi)}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=0}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=1}\)
\(\displaystyle{ z_{3}= -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}*i}\)
\(\displaystyle{ z_{4}= -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}*i}\)

Wyszły mi wyniki odwrotne do wolframa. Ale dlaczego ?