Uproszczenie postaci równania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
karolo12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 7 gru 2012, o 14:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: LODZ

Uproszczenie postaci równania

Post autor: karolo12 »

Witam . Mógłby ktoś poniższe równanie doprowadzić do postaci algebraicznej ? Z góry dziękuję.
\(\displaystyle{ \frac{400}{\sqrt{3}}}\)\(\displaystyle{ e^{j120} - \frac{400}{\sqrt{3}}}\)
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Uproszczenie postaci równania

Post autor: musialmi »

No halo, \(\displaystyle{ e^{120i}}\) ma promień \(\displaystyle{ 1}\) i kąt \(\displaystyle{ 120}\) radianów. Tego chyba do niczego ciekawego nie sprowadzisz.
karolo12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 7 gru 2012, o 14:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: LODZ

Uproszczenie postaci równania

Post autor: karolo12 »

Postać wykładniczą można sprowadzić do algebraicznej korzystając ze Wzoru Eulera. Tylko ,że coś mi źle wychodzi.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Uproszczenie postaci równania

Post autor: NogaWeza »

\(\displaystyle{ e^{120i} = \cos{120} + i \sin{120}}\)
Dokładnie tego nie wyznaczysz, jedynie możesz próbować przybliżyć.
karolo12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 7 gru 2012, o 14:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: LODZ

Uproszczenie postaci równania

Post autor: karolo12 »

ogólnie rzecz biorąc to \(\displaystyle{ \frac{400}{\sqrt{3}}e^{j120} - \frac{400}{\sqrt{3}}}\) muszę podzielić przez
\(\displaystyle{ 20\sqrt{3} +20j}\)
Muszę to sprowadzić do takiej postaci ,że będę miał część rzeczywistą i urojoną ,aby móc przedstawić na płaszczyźnie zespolonej wektor.
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2015, o 20:42 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Uproszczenie postaci równania

Post autor: Medea 2 »

Wynikiem dzielenia jest

\(\displaystyle{ \left(5-\frac{5 i}{\sqrt{3}}\right) \left(e^{120 i}-1\right) \approx 0.746985 + 3.43947 i}\).

Jesteś pewien, że wartość \(\displaystyle{ 120}\) wyrażona jest w radianach, a nie stopniach?
karolo12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 7 gru 2012, o 14:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: LODZ

Uproszczenie postaci równania

Post autor: karolo12 »

Tak, moje niedopatrzenie 120 wyrażone jest w stopniach.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Uproszczenie postaci równania

Post autor: NogaWeza »

No to zmienia postać rzeczy, bo sinus i cosinus \(\displaystyle{ 120}\) stopni sobie policzysz bez problemu.
\(\displaystyle{ \sin{(\pi - \alpha)} = \sin{\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \cos{(\pi - \alpha)} = - \cos{\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \pi}\) radianów to \(\displaystyle{ 180}\) stopni, więc za \(\displaystyle{ \alpha}\) wstaw sobie \(\displaystyle{ 60}\) stopni oraz wykorzystaj wzory redukcyjne, które podałem. W ten sposób policzysz sinus i cosinus \(\displaystyle{ 120}\) stopni.
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Uproszczenie postaci równania

Post autor: musialmi »

Skoro kąt jest podany w stopniach, to nie można napisać tej liczby jako \(\displaystyle{ e^{120i}}\), prawda?
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Uproszczenie postaci równania

Post autor: Medea 2 »

Owszem, nie można. Trzeba napisać \(\displaystyle{ \textstyle \exp \frac 2 3 \pi i}\), co jest równe \(\displaystyle{ \textstyle \frac 1 2 (i \sqrt 3 - 1)}\). Dalsze uproszczenia pozostawia autorowi tematu.
ODPOWIEDZ