Wzór de Moivre'a a trygonometria.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Wzór de Moivre'a a trygonometria.

Post autor: NogaWeza »

Witam.
Mam dwa zadania:
1) wyrazić \(\displaystyle{ \tg{6x}}\) przez \(\displaystyle{ \tg{x}}\)
2) wyrazić \(\displaystyle{ \ctg{5x}}\) przez \(\displaystyle{ \ctg{x}}\)

Gdyby zadanie polegało na wyrażeniu tego przez dowolne funkcje trygonometryczne to wyprowadziłbym w oparciu o de Moivre'a wzory na \(\displaystyle{ \sin{6x}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos{6x}}\) i nie byłoby problemu. Ktoś sprytny mi pomoże?
Awatar użytkownika
Michalinho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 495
Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 104 razy

Wzór de Moivre'a a trygonometria.

Post autor: Michalinho »

Taki luźny pomysł, żeby wyrazić kosinus tangensem.
\(\displaystyle{ z=\cos x+i\sin x}\)
\(\displaystyle{ \tg^2 x=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}\Rightarrow \cos^2 x=\frac{1}{1+\tg^2 x}}\).
Stąd dwa przypadki ze względu na znak:
\(\displaystyle{ \cos x= \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 x}}, \cos x\ge 0 \\ -\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 x}}, \cos x<0 \end{cases}}\).
Może to pomoże, bo wtedy:
\(\displaystyle{ z= \pm \sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 x}}(1+i\tg x)}\)
Teraz podnieść do \(\displaystyle{ 6}\) potęgi i porównać z:
\(\displaystyle{ z^6=\pm \sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 6x}}(1+i\tg 6x)}\).

Wydaje się że zadziała, aczkolwiek na pewno nie jest to ładne.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Wzór de Moivre'a a trygonometria.

Post autor: NogaWeza »

Jakby Ci się chciało to możesz to policzyć, bo ja próbowałem parę razy i za każdym razem najpewniej gdzieś się pomyliłem, choć sposób wydaje się być dobry. Gdyby ktoś miał inny pomysł to proszę się podzielić!
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Wzór de Moivre'a a trygonometria.

Post autor: Premislav »

Nie wiem, czy to nie na to samo wychodzi, ale:
rozpiszmy \(\displaystyle{ \tg 6x= \frac{\sin 6x}{\cos 6x}}\)
i z de Moivre'a mamy \(\displaystyle{ \sin 6x=\Im(i\sin x+\cos x)^{6}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 6x=\Re(i\sin x+\cos x)^{6}}\). To pierwsze to jest chyba \(\displaystyle{ {6 \choose 1}\sin^{5}x\cos x-{6\choose 3}\sin^{3}x\cos^{3}x+{6 \choose 5}\sin x\cos^{5}x}\), a to drugie to \(\displaystyle{ -{6\choose 0}\sin^{6}x+{6 \choose 2}\sin^{4}x\cos^{2}x-{6\choose 4}\sin^{2}x\cos^{4}x+{6 \choose 6}\cos^{6}x}\)
Następnie dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos^{6}x}\) i dostajemy
o takie coś: \(\displaystyle{ \frac{{6 \choose 1}\tg^{5}x-{6\choose 3}\tg^{3}x+{6 \choose 5}\tg x}{-{6\choose 0}\tg^{6}x+{6 \choose 2}\tg^{4}x-{6\choose 4}\tg^{2}x+{6 \choose 6}
}}\)

Ale to też siłka. :( BTW mogłem się gdzieś w znakach rąbnąć, bo nie umiem liczyć (np. mogłem gdzieś palnąć \(\displaystyle{ i^{2}=1}\) czy podobny kwiatek, choć nie znalazłem).
Czyli wychodziłoby na to, ze byle tylko być konsekwentnym, można to zrobić Twoim pomysłem.

-- 1 wrz 2015, o 20:16 --

*z użyciem Twojego pomysłu.
Właściwie to jestem dzisiaj trochę padnięty, więc mogą być błędy, ale szukam i nie widzę.

-- 1 wrz 2015, o 20:18 --

No i z kotangensem pewnie można zrobić analogicznie...
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Wzór de Moivre'a a trygonometria.

Post autor: NogaWeza »

Premislav, brawo, dzięki! Dokładnie takie coś mam z tyłu książki w odpowiedziach.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wzór de Moivre'a a trygonometria.

Post autor: a4karo »

\(\displaystyle{ \tg 2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}}\)
\(\displaystyle{ \tg 4x=\frac{2\tg 2x}{1-\tg^2 2x}}\)
\(\displaystyle{ \tg 6x=\frac{\tg 2x+\tg 4x}{1-\tg 2x\tg 4x}}\)

i zwinąć po kolei.
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Wzór de Moivre'a a trygonometria.

Post autor: Medea 2 »

Jeżeli \(\displaystyle{ \tan x = y}\), to \(\displaystyle{ \tan 6x = -\frac{6y^5-20y^3+6y}{y^6-15y^4+15y^2 - 1}}\), gdyby ktoś się zastanawiał jeszcze nad tym.
ODPOWIEDZ