Obszar na płaszczyźnie zespolonej.

[NogaWeza]

Jak narysować obszar spełniający ten warunek na płaszczyźnie zespolonej? Jak to przekształcić?
\(\displaystyle{ \arg{(- \overline{z})} \ge \frac{\pi}{2}}\)

Próbowałem najpierw z tożsamości \(\displaystyle{ \arg{(-z)} = \arg{z} + \pi}\) a potem z \(\displaystyle{ \arg{\overline{z}} = - \arg{z}}\), ale narysowany przez mnie obszar nie pokrywa się z odpowiedziami. Proszę o pomoc.

[szw1710]

Przekształcenie \(\displaystyle{ z\mapsto -\overline{z}}\) działa w pewien sposób na \(\displaystyle{ z}\). Spróbuj opisać jak, a potem wykombinować jak to narysować.

[NogaWeza]

Biorę \(\displaystyle{ z = x + yi}\), wtedy \(\displaystyle{ - \overline{z} = -(x - yi) = -x + yi}\). To znaczy, że część rzeczywista zmienia znak, część urojona pozostaje bez zmian. No ale jak się to ma do rysunku to nie mogę wykombinować.

[szw1710]

Zobacz jak ma się Twój opis do geometrii. Czyli mówiąc po ludzku, co robi to przekształcenie? Jaki jest punkt \(\displaystyle{ -\overline{z}}\) w stosunku do \(\displaystyle{ z}\)?

[NogaWeza]

Tzn. wiem, że punkt \(\displaystyle{ - \overline{z}}\) jest symetryczny względem osi \(\displaystyle{ OY}\) w stosunku do punktu \(\displaystyle{ z}\). Nie wiem też czy rozumuję poprawnie, ale jeśli \(\displaystyle{ \phi}\) jest argumentem liczby \(\displaystyle{ z}\), to argumentem liczby \(\displaystyle{ - \overline{z}}\) jest \(\displaystyle{ \pi - \phi}\)?

[szw1710]

Przekształcenie OK. No to teraz narysuj zbiór tych \(\displaystyle{ z}\), których argument jest \(\displaystyle{ \ge\frac{\pi}{2}}\) i odpowiednio go przekształć tak, żeby ta symetria wyszła.

[NogaWeza]

\(\displaystyle{ \pi - \arg{z} \ge \frac{\pi}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ \arg{z} \le \frac{\pi}{2}}\)? Chodzi o pierwszą ćwiartkę układu?

[szw1710]

Nie. Narysuj zbiór tych \(\displaystyle{ z}\), dla których \(\displaystyle{ \arg{z} \ge \frac{\pi}{2}}\). To nie wszystko. Teraz musisz to przekształcić przez odpowiednią symetrię. W ten sposób przejdziemy na \(\displaystyle{ -\overline{z}}\). Zauważ, że odwzorowaniem odwrotnym do symetrii jest ta sama symetria.

[NogaWeza]

Rozumiem, źle na to patrzyłem przez cały czas. Chodzi o pierwszą, trzecią i czwartą ćwiartkę układu.

[szw1710]

Tak - to efekt końcowy już po przekształceniu przez symetrię.