Obszar na płaszczyźnie zespolonej.
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Obszar na płaszczyźnie zespolonej.
Jak narysować obszar spełniający ten warunek na płaszczyźnie zespolonej? Jak to przekształcić?
\(\displaystyle{ \arg{(- \overline{z})} \ge \frac{\pi}{2}}\)
Próbowałem najpierw z tożsamości \(\displaystyle{ \arg{(-z)} = \arg{z} + \pi}\) a potem z \(\displaystyle{ \arg{\overline{z}} = - \arg{z}}\), ale narysowany przez mnie obszar nie pokrywa się z odpowiedziami. Proszę o pomoc.
\(\displaystyle{ \arg{(- \overline{z})} \ge \frac{\pi}{2}}\)
Próbowałem najpierw z tożsamości \(\displaystyle{ \arg{(-z)} = \arg{z} + \pi}\) a potem z \(\displaystyle{ \arg{\overline{z}} = - \arg{z}}\), ale narysowany przez mnie obszar nie pokrywa się z odpowiedziami. Proszę o pomoc.
Obszar na płaszczyźnie zespolonej.
Przekształcenie \(\displaystyle{ z\mapsto -\overline{z}}\) działa w pewien sposób na \(\displaystyle{ z}\). Spróbuj opisać jak, a potem wykombinować jak to narysować.
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Obszar na płaszczyźnie zespolonej.
Biorę \(\displaystyle{ z = x + yi}\), wtedy \(\displaystyle{ - \overline{z} = -(x - yi) = -x + yi}\). To znaczy, że część rzeczywista zmienia znak, część urojona pozostaje bez zmian. No ale jak się to ma do rysunku to nie mogę wykombinować.
Obszar na płaszczyźnie zespolonej.
Zobacz jak ma się Twój opis do geometrii. Czyli mówiąc po ludzku, co robi to przekształcenie? Jaki jest punkt \(\displaystyle{ -\overline{z}}\) w stosunku do \(\displaystyle{ z}\)?
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Obszar na płaszczyźnie zespolonej.
Tzn. wiem, że punkt \(\displaystyle{ - \overline{z}}\) jest symetryczny względem osi \(\displaystyle{ OY}\) w stosunku do punktu \(\displaystyle{ z}\). Nie wiem też czy rozumuję poprawnie, ale jeśli \(\displaystyle{ \phi}\) jest argumentem liczby \(\displaystyle{ z}\), to argumentem liczby \(\displaystyle{ - \overline{z}}\) jest \(\displaystyle{ \pi - \phi}\)?
Obszar na płaszczyźnie zespolonej.
Przekształcenie OK. No to teraz narysuj zbiór tych \(\displaystyle{ z}\), których argument jest \(\displaystyle{ \ge\frac{\pi}{2}}\) i odpowiednio go przekształć tak, żeby ta symetria wyszła.
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Obszar na płaszczyźnie zespolonej.
\(\displaystyle{ \pi - \arg{z} \ge \frac{\pi}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ \arg{z} \le \frac{\pi}{2}}\)? Chodzi o pierwszą ćwiartkę układu?
Obszar na płaszczyźnie zespolonej.
Nie. Narysuj zbiór tych \(\displaystyle{ z}\), dla których \(\displaystyle{ \arg{z} \ge \frac{\pi}{2}}\). To nie wszystko. Teraz musisz to przekształcić przez odpowiednią symetrię. W ten sposób przejdziemy na \(\displaystyle{ -\overline{z}}\). Zauważ, że odwzorowaniem odwrotnym do symetrii jest ta sama symetria.