postac trygonometryczna, pierwiastki, potęgi

[dziurs93]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \left( \cos \frac{7 \pi }{4} -i\sin \frac{7\pi}{4} \right)^{30} }}\)

jak rozpocząć robienie tego przykładu?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \cos \frac{7 \pi }{4} -i \sin \frac{7\pi}{4} =\cos \left( 2 \pi -\frac{ \pi }{4} \right) -i \sin \left( 2 \pi -\frac{ \pi }{4} \right) = \cos \frac{ \pi }{4} +i \sin \frac{\pi}{4}}\)

[dziurs93]

obliczylem juz 2 pierwiaski

\(\displaystyle{ w_1 = \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2} i \\[1ex]
w_2 = \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2} i}\)

oraz \(\displaystyle{ w_3 =}\) wychodzę na \(\displaystyle{ \cos \left( \pi + \frac{ \pi }{2} \right) + i\sin \left( \pi + \frac{ \pi }{2} \right)}\) i teraz pytanie: normanie przyrownuje \(\displaystyle{ \pi}\) do zera i licze tylko dla \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) czy widząc że \(\displaystyle{ \left( \pi + \frac{ \pi }{2} \right)}\) to III cwiartka wiec zmieniam oba znaki na minus?
i odpowiedz będzie \(\displaystyle{ i}\) czy \(\displaystyle{ -i}\) ???

-- 23 sie 2015, o 13:32 --

juz wiem, zmieniam znaki zgodnie z III cwiartka i wynik bedzie \(\displaystyle{ -i}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \cos \left( \pi + \frac{ \pi }{2} \right) + i\sin \left( \pi + \frac{ \pi }{2} \right) =-i}\)

Sugeruję Ci, abyś narysował pierwiastki \(\displaystyle{ w _{1} ,w _{2},w _{3}}\) na płaszczyźnie zespolonej.
Czy są symetrycznie rozłożone (co 120 stopni) na okręgu o promieniu 1 i środku w początku układu?

Ukryta treść:    

Mi wychodzi:
\(\displaystyle{ w _{0}=i \ , \ w _{1}= -\frac{ \sqrt{3} }{2}-i \frac{1}{2} \ , \ w _{2}=\frac{ \sqrt{3} }{2}-i \frac{1}{2}}\)