Obszar na płaszczyźnie zespolonej.

[NogaWeza]

W obu przykładach mam zaznaczyć podany obszar na płaszczyźnie zespolonej.
1) \(\displaystyle{ |z+i| \le |z^2 +1|}\)
\(\displaystyle{ | x + (y+1)i| \le |x^2 - y^2 + 2xy \cdot i|}\)
\(\displaystyle{ x^2 + (y+1)^2 \le (x^2 -y^2 +1)^2 + 4x^2 y^2}\)
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 +2y +1 \le x^4 +2x^2 y^2 +2x^2 +y^4 -2y^2 +1}\)
Jak to teraz przekształcić tak, żeby dało się to narysować?

2) \(\displaystyle{ |z+i| + |z-i| = 2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2 + (y+1)^2} + \sqrt{x^2 + (y-1)^2 } = 2}\)


Nie wiem jak to pozwijać do jakichś ładnych forem, więc proszę o pomoc.

[szw1710]

2)To równanie mówi, że suma odległości punktu \(\displaystyle{ z}\) od \(\displaystyle{ i}\) oraz od \(\displaystyle{ -i}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\). Jakie punkty spełniają to równanie? Pytanie dodatkowe: co by było, gdyby \(\displaystyle{ 2}\) zastąpić przez coś większego, np. \(\displaystyle{ 4}\)?

1) Zastanawiam się nad podobną interpretacją.

[Medea 2]

Wskazówka do pierwszego: \(\displaystyle{ z^2 + 1= (z+i)(z-i)}\).

[NogaWeza]

szw1710,
2) Tak, teraz rozumiem, będzie to odcinek pomiędzy punktami \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\). Widzę, że sytuacja robi się ciekawsza gdy zwiększymy odległość. Moją pierwszą myślą był okrąg, ale oczywiście przyjmując \(\displaystyle{ x = 2}\) widać, że wtedy odległość będzie większa niż \(\displaystyle{ 4}\), także obstawiam parabolę albo jakąś inną krzywą, może elipsę? To raczej strzały na ślepo i nie wiem jak to pokazać.

Madea 2
Tak, rzeczywiście, powinienem był to zauważyć. Wyszło zewnętrze okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0, i)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\)

Dziękuję za szybkie odpowiedzi.

[szw1710]

Tak, będzie to jedna z tych krzywych. Przypomnij sobie geometryczne charakteryzacje elipsy, hiperboli i paraboli. Wtedy możesz nie zgadywać, tylko jasno tę krzywą określić.

[NogaWeza]

No tak, elipsa! Suma odległości punktu leżącego na elipsie od jej ognisk - w tym przypadku punktów \(\displaystyle{ (0,i)}\) oraz \(\displaystyle{ (0, -i)}\) - jest stała. Dziękuję za naprowadzenie mnie.

[szw1710]

Nie punktów \(\displaystyle{ (0,\pm i)}\), ale \(\displaystyle{ \pm i}\) lub we współrzędnych kartezjańskich \(\displaystyle{ (0,\pm 1)}\). Ale konkluzja dobra - jest to elipsa.