Uzasadnienie równości trygonometrycznej

[archimedes]

Obliczyć:

\(\displaystyle{ (5-i)^{4}(1+i)}\)

a następnie uzasadnić równość:

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} = arctan (\frac{1}{5}) - arctan (\frac{1}{239})}\)

Mam lekkie podejrzenie, że trzeba tu skorzystać z rozwinięcia funkcji arcus tangens w szereg potęgowy, ale jak się za to wziąć, to nie wiem.

[Medea 2]

Rozwinięcie w szereg nic nie da. Niech \(\displaystyle{ v = 1 + i}\), \(\displaystyle{ w = 5 - i}\) i \(\displaystyle{ z = uw^4}\). Proste przekształcenia prowadzą do \(\displaystyle{ u = \sqrt{2} \exp(i \pi/4)}\) oraz \(\displaystyle{ w^4 = 676 \exp(-4i \arctan (1/5))}\) (ponieważ \(\displaystyle{ r_2 = |5-i|^4 = \sqrt{5^2 + 1^2}^4 = 676}\) i \(\displaystyle{ \textstyle \theta = 4 \arctan -\frac 15 = -4 \arctan \frac 1 5}\)).

Dalej, \(\displaystyle{ z = uw^4 = 956 - 4i}\) i argumentem tej liczby jest \(\displaystyle{ \textstyle \arctan - \frac 4 {956} = - \arctan \frac 1 {239}}\). Wiadomo, że argumentem iloczynu jest suma argumentów czynników. Dasz radę dokończyć z tymi wskazówkami?

[archimedes]

Tak, dzięki, myślę, że dam radę - tylko nie do końca widzę, jak wyznaczyłaś argument liczby \(\displaystyle{ r_{2}}\)

[Medea 2]

Argument \(\displaystyle{ w^4}\) jest taki sam, jak czterokrotność argumentu \(\displaystyle{ w}\), a ten łatwo wyznaczyć. Narysuj sobie płaszczyznę zespoloną, zaznacz \(\displaystyle{ w}\) (jako wektor) i rozrysuj trójkąt prostokątny, po czym przypomnij sobie definicję tangensa.

[archimedes]

Tak, faktycznie, nie było chyba wtedy \(\displaystyle{ arctan}\) w jednym miejscu i stąd się pogubiłem. Dzięki!