Zbiór liczb zespolonych jest ciałem

[Lasagne]

Mam problem ze sprawdzeniem aksjomatów mnożenia dla ciała liczb zespolonych.
Określamy działanie \(\displaystyle{ (a,b)\odot (c,d)=(ac-bd, ad+bc)}\).

1) Mam sprawdzić, że \(\displaystyle{ a\cdot 1=a}\) (element neutralny).
\(\displaystyle{ (a,a)\odot (1,1)=(a-a, a+a)=(0, 2a)}\)
Czyli elementem neutralnym jest \(\displaystyle{ (0, 2a)}\)?

2) \(\displaystyle{ a\cdot b=1}\) (element odwrotny)
\(\displaystyle{ (a,a)\odot (b,b)=(0, 2ab)=1}\) zatem \(\displaystyle{ 2ab=1 \Rightarrow b=\frac{1}{2a}}\) jest elementem odwrotnym? Coś tu nie pasuje...

3) \(\displaystyle{ a\cdot b=b\cdot a}\) (przemienność mnożenia)
\(\displaystyle{ (a,a)\odot (b,b)=(0, 2ab) \\
(b,b)\odot (a,a)=(2ab, 0)}\)
Ale to przecież nie jest to samo, a ma wyjść, że jest ciałem. Co robię źle?

[gardner]

Wszystko źle. Jak się sprawdza jaki element jest elementem neutralnym??

Element neutralny naszego działania (nie tylko tego ale ogólnie) to taki,że
istnieje takie \(\displaystyle{ e \in G}\),że \(\displaystyle{ \vee a \in G}\) \(\displaystyle{ e \cdot a=a \cdot e=a}\)

I szukasz elementu e. Nie wiem skąd tam Ci się wziął element \(\displaystyle{ (1,1)}\) Nie w każdym działaniu 1 to element neutralny.

[Lasagne]

No dobra, w takim razie szukam takiego \(\displaystyle{ b}\), żeby \(\displaystyle{ a\odot b=a}\).
\(\displaystyle{ (a,a)\odot (b,b)=(a,a) \\
(a,a)\odot ab+ab)=(0, 2ab) \\
\begin{cases} a=0 \\ 2ab=a \end{cases}}\)
I teraz skoro \(\displaystyle{ a=0}\), to nie mogę podzielić drugiego równania przez \(\displaystyle{ a}\). Jak wstawimy cokolwiek za \(\displaystyle{ b}\), to równanie będzie prawdziwe. Tylko co z tego wynika?

[Dasio11]

Przede wszystkim, elementami zbioru liczb zespolonych są pary \(\displaystyle{ (a_1, a_2),}\) gdzie \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in \RR.}\) Nie wszystkie są postaci \(\displaystyle{ (a, a),}\) tzn. nie wszystkie mają to samo na obu współrzędnych. Przykładowym elementem jest \(\displaystyle{ (1, 2).}\)

Szukasz elementu neutralnego, czyli takiej pary \(\displaystyle{ e = (e_1, e_2),}\) że dla dowolnej innej pary \(\displaystyle{ (a_1, a_2)}\) zachodzi

\(\displaystyle{ (a_1, a_2) \odot (e_1, e_2) = (e_1, e_2) \odot (a_1, a_2 ) = (a_1, a_2).}\)

Znajdź go.