Mam problem ze sprawdzeniem aksjomatów mnożenia dla ciała liczb zespolonych.
Określamy działanie \(\displaystyle{ (a,b)\odot (c,d)=(ac-bd, ad+bc)}\).
1) Mam sprawdzić, że \(\displaystyle{ a\cdot 1=a}\) (element neutralny).
\(\displaystyle{ (a,a)\odot (1,1)=(a-a, a+a)=(0, 2a)}\)
Czyli elementem neutralnym jest \(\displaystyle{ (0, 2a)}\)?
2) \(\displaystyle{ a\cdot b=1}\) (element odwrotny)
\(\displaystyle{ (a,a)\odot (b,b)=(0, 2ab)=1}\) zatem \(\displaystyle{ 2ab=1 \Rightarrow b=\frac{1}{2a}}\) jest elementem odwrotnym? Coś tu nie pasuje...
3) \(\displaystyle{ a\cdot b=b\cdot a}\) (przemienność mnożenia)
\(\displaystyle{ (a,a)\odot (b,b)=(0, 2ab) \\
(b,b)\odot (a,a)=(2ab, 0)}\)
Ale to przecież nie jest to samo, a ma wyjść, że jest ciałem. Co robię źle?
Zbiór liczb zespolonych jest ciałem
Zbiór liczb zespolonych jest ciałem
Wszystko źle. Jak się sprawdza jaki element jest elementem neutralnym??
Element neutralny naszego działania (nie tylko tego ale ogólnie) to taki,że
istnieje takie \(\displaystyle{ e \in G}\),że \(\displaystyle{ \vee a \in G}\) \(\displaystyle{ e \cdot a=a \cdot e=a}\)
I szukasz elementu e. Nie wiem skąd tam Ci się wziął element \(\displaystyle{ (1,1)}\) Nie w każdym działaniu 1 to element neutralny.
Element neutralny naszego działania (nie tylko tego ale ogólnie) to taki,że
istnieje takie \(\displaystyle{ e \in G}\),że \(\displaystyle{ \vee a \in G}\) \(\displaystyle{ e \cdot a=a \cdot e=a}\)
I szukasz elementu e. Nie wiem skąd tam Ci się wziął element \(\displaystyle{ (1,1)}\) Nie w każdym działaniu 1 to element neutralny.
-
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 2 lis 2014, o 14:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ełk
- Podziękował: 15 razy
Zbiór liczb zespolonych jest ciałem
No dobra, w takim razie szukam takiego \(\displaystyle{ b}\), żeby \(\displaystyle{ a\odot b=a}\).
\(\displaystyle{ (a,a)\odot (b,b)=(a,a) \\
(a,a)\odot ab+ab)=(0, 2ab) \\
\begin{cases} a=0 \\ 2ab=a \end{cases}}\)
I teraz skoro \(\displaystyle{ a=0}\), to nie mogę podzielić drugiego równania przez \(\displaystyle{ a}\). Jak wstawimy cokolwiek za \(\displaystyle{ b}\), to równanie będzie prawdziwe. Tylko co z tego wynika?
\(\displaystyle{ (a,a)\odot (b,b)=(a,a) \\
(a,a)\odot ab+ab)=(0, 2ab) \\
\begin{cases} a=0 \\ 2ab=a \end{cases}}\)
I teraz skoro \(\displaystyle{ a=0}\), to nie mogę podzielić drugiego równania przez \(\displaystyle{ a}\). Jak wstawimy cokolwiek za \(\displaystyle{ b}\), to równanie będzie prawdziwe. Tylko co z tego wynika?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Zbiór liczb zespolonych jest ciałem
Przede wszystkim, elementami zbioru liczb zespolonych są pary \(\displaystyle{ (a_1, a_2),}\) gdzie \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in \RR.}\) Nie wszystkie są postaci \(\displaystyle{ (a, a),}\) tzn. nie wszystkie mają to samo na obu współrzędnych. Przykładowym elementem jest \(\displaystyle{ (1, 2).}\)
Szukasz elementu neutralnego, czyli takiej pary \(\displaystyle{ e = (e_1, e_2),}\) że dla dowolnej innej pary \(\displaystyle{ (a_1, a_2)}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (a_1, a_2) \odot (e_1, e_2) = (e_1, e_2) \odot (a_1, a_2 ) = (a_1, a_2).}\)
Znajdź go.
Szukasz elementu neutralnego, czyli takiej pary \(\displaystyle{ e = (e_1, e_2),}\) że dla dowolnej innej pary \(\displaystyle{ (a_1, a_2)}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (a_1, a_2) \odot (e_1, e_2) = (e_1, e_2) \odot (a_1, a_2 ) = (a_1, a_2).}\)
Znajdź go.