Równanie czwartego stopnia

[antyspam]

Witam,
nie mam pomysłu jak rozgryźć takie równanie. Byłby ktoś w stanie mi pomóc?

\(\displaystyle{ z^4 = -8 ( 1 + \sqrt {3}i)}\)

[Poszukujaca]

Spróbuj z postaci wykładniczej liczby zespolonej.

[antyspam]

\(\displaystyle{ z^4 = \left| z\right|^4 \cdot \left( \cos \alpha +i \cdot \sin \alpha \right) ^4

\left| z\right|^4 = 8

\left( \cos \alpha +i \cdot \sin \alpha \right)^4 = -1 - i \sqrt{3}}\)

W dobrą stronę idę? Co dalej?

[musialmi]

Nie. Miała być postać wykładnicza (która wygląda mi na dobry pomysł), a jest trygonometryczna. Poza tym wniosek, że \(\displaystyle{ \left| z\right|^4 = 8}\), jest niestety oszukany. Tę \(\displaystyle{ -8}\) powinieneś wymnożyć

[Poszukujaca]

Postać wykładnicza liczby zespolonej to: \(\displaystyle{ z=|z|e^{i \alpha}}\)

Spróbuj zamienić każdą z liczb po prawej na taką postać.

[antyspam]

Jeśłi dobrze zrozumiałem to wszyło:
\(\displaystyle{ 16 e^{i \frac{ \ 2 pi }{3} }}\)?

Teraz podstawić do tego wzoru?
\(\displaystyle{ z_{k} = \sqrt[n]{\left| z\right| } e^{i \frac{ \alpha +2k \pi }{n} }}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,..,n-1}\)

[Poszukujaca]

Jeśłi dobrze zrozumiałem to wszyło:
\(\displaystyle{ 16 e^{i \frac{ \ 2 pi }{3} }}\)?

Sprawdź czy nie zrobiłeś błędu. Mi wyszło \(\displaystyle{ z^{4}=16e^{\frac{5 \pi}{6}i}}\)

[antyspam]

\(\displaystyle{ x = -8-8 \sqrt{3} i}\)

\(\displaystyle{ \left| x\right|= \sqrt{64+3 \cdot 64}=16}\)

\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{-8 \sqrt{3}}{16}}\)

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{-8}{16}}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow \alpha = \frac{2 \pi }{3}}\)

Jest tu gdzieś błąd?

[Poszukujaca]

Wszystkie obliczenia są dobrze. Tylko \(\displaystyle{ \alpha =\frac{4}{3} \pi}\) zgodnie z wykresami funkcji trygonometrycznych.

Ja też się przedtem machnęłam. Powinno wyjść \(\displaystyle{ z^{4}=16e^{\frac{4}{3}\pi i}}\)

[antyspam]

Przepraszam, też się machnąłem na końcu
Tak, \(\displaystyle{ \alpha = \frac{4}{3} \pi}\)

W jaki sposób wyznaczyć teraz pierwiaski?

EDIT:
Ze wzoru, który napisałem wcześniej?

[Poszukujaca]

Korzystając ze wzoru: \(\displaystyle{ z_{k}=\sqrt[n]{|z|} e^{\frac{\alpha+2k \pi}{n} i}}\)

[antyspam]

Ostateczne wyniki:

\(\displaystyle{ z_{0}=2 e^{ \frac{ \pi }{3}i }}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=2 e^{ \frac{ 5\pi }{6}i }}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=2 e^{ \frac{ 4\pi }{3}i }}\)
\(\displaystyle{ z_{3}=2 e^{ \frac{ 11\pi }{6}i }}\)

Dziękuję bardzo za pomoc, bez niej bym tego nie ugryzł

[Poszukujaca]

Dobrze