Zespolone potęgi liczb rzeczywistych

[Mondo]

Witam,

prosiłbym o wyjaśnienie kilku kwestii związanych z liczbami zespolonymi:

1. Podnoszenie liczby rzeczywistej do potęgi zespolonej:

\(\displaystyle{ 10^{r+is} = 10^{r}10^{is}}\)
pierwszy człon iloczynu jest oczywisty, natomiast drugi, wedle literatury wynosi: \(\displaystyle{ 10^{is} = x + iy}\)
natomiast nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ 10^{is} = x + iy}\). Gdyby się nad tym zastanowić to liczba rzeczywista, w tym przypadku 10 podniesiona do jakiejkolwiek potęgi dalej powinna być liczbą rzeczywistą. Potęga liczby mówi przecież ile razy należy daną liczbę wymnożyć przez samą siebie. Tak więc jak to jest, że wynikiem potegowania liczby rzeczywistej staje się liczba urojona ?

2. Skąd takie równanie \(\displaystyle{ \rightarrow 10 ^{is} = e^{it}}\), \(\displaystyle{ t = 2.3025s}\) ?


i później dlaczego \(\displaystyle{ e^{it} = cos(t) + isin(t)}\)

Dzięki za pomoc.

[Alef]

Łap

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Pot%C4%99gowanie

Przeczytaj wykładnik zespolony (ze szczególnym zwróceniem uwagi na postać wykladniczą liczby zespolonej, inaczej wzór Eulera), a następnie potęga zespolona.

Wszystko Ci się wyjaśni.

EDIT: Na przykład:

\(\displaystyle{ 10 ^{is} = e^{\ln{\left( 10 ^{is}\right)} }=e^{is\ln{\left( 10\right)} }=e^{2.3025s*i}}\)

[Mondo]

Dzięki za odpowiedź, twój edit się przydał

Wracając jednak do problemu:

Nie rozumiem genezy tego zapisu:
\(\displaystyle{ e^{it} = x + iy}\),
a więc mojego pytania nr.1 Jak liczba rzeczywista podniesiona do potegi zespolonej zostaje liczą zespoloną. Można jakoś udowodnić/wyjaśnić to równanie ?

Dzieki.

[Alef]

Liczbę zespoloną możemy przedstawić na równoważne sposoby.

1. Postać algebraiczna.
2. Postać trygonometryczna.
3. Postać wykładnicza.

Z lewej strony zapisu masz postać wykładniczą liczby zespolonej, a z prawej algebraiczną.

Pomocny

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zespolone

Choć może po prostu google będzie bardziej pomocne.

Wyjaśnienie tego równania to jest po prostu dowód, że ww. postacie liczby zespolonej są równoważne.

[Medea 2]

Co to znaczy pomnożyć przez siebie \(\displaystyle{ e}\) dokładnie \(\displaystyle{ i}\) razy, Twoim zdaniem?

[AiDi]

Ta intuicja łamie się już na poziomie liczb rzeczywistych. Jak wyjaśnisz w ten sposób np. \(\displaystyle{ 10^{0,5}}\)?

[Mondo]

Co to znaczy pomnożyć przez siebie \(\displaystyle{ e}\) dokładnie \(\displaystyle{ i}\) razy, Twoim zdaniem?

No właśnie to jest dobre pytanie, cokolwiek by to nie znaczyło moim zdaniem nie powinien być l.zespoloną a jakąs tam krotnością liczby "e" w tym przypadku. To tak jak gdyby \(\displaystyle{ e^{-1}}\) było liczbą ujemną.

A co dla Ciebie znaczy " pomnożyć przez siebie \(\displaystyle{ e}\) dokładnie \(\displaystyle{ i}\) razy" ?

Dzieki.

-- 1 lip 2015, o 16:30 --

Ta intuicja łamie się już na poziomie liczb rzeczywistych. Jak wyjaśnisz w ten sposób np. \(\displaystyle{ 10^{0,5}}\)?

Dokładnie, więc jak to rozumieć ? Jak rozumieć \(\displaystyle{ 10^{i}}\) ?

\(\displaystyle{ 10^{0,5}}\) można w miarę łatwo wyrazić jako:\(\displaystyle{ 10^{0,5*2} = a \rightarrow 10^{0,5}= \sqrt{a}}\)

W książce którą studiuję jest taki zapis:
\(\displaystyle{ 10^{r+is} = 10^{r} \cdot 10^{is}}\) tutaj wszytko jasne, no ale dalej autor rozpisuje potęgę o wykładniu urojonym *is* i pisze:
\(\displaystyle{ 10^{is} = x + iy}\), i tutaj się zatrzymuję. Skąd wychodzi x + iy ?

Dzieki.