Logarytm o podstawie zespolonej
Logarytm o podstawie zespolonej
Jak się liczy logarytmy z liczb zespolonych oraz o podstawach zespolonych?
-
musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
Logarytm o podstawie zespolonej
Logarytm zespolony definiuje się tak: \(\displaystyle{ a=\log z \iff e^a=z}\). A o logarytmie o podstawie zespolonej nie słyszałem.
-
smallares25
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 8 gru 2009, o 11:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mogilno
- Pomógł: 2 razy
Logarytm o podstawie zespolonej
Witam,
Ja też nie słyszałem o takich logarytmach, ale pokażę do czego doszedłem, gdyby coś takiego istniało (czemu nie).
\(\displaystyle{ \log_{i}\left( i\right) =1}\) bo \(\displaystyle{ i^{1}=i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(i^{2}\right)=2}\) bo \(\displaystyle{ i^{2}=i^{2}=-1}\). Tutaj mała uwaga: (bardzo chyba) nie możemy napisać:
\(\displaystyle{ \log_{i}(-1)=2}\) bo fakt \(\displaystyle{ i^{2} =-1}\), ale liczba logarytmowana (chyba) musi być większa od zera \(\displaystyle{ \log_{a}(b)=c\Leftrightarrow a^{c}=b \wedge b>0}\)
(tak przynajmniej jest w logarytmach o rzeczywistych podstawach,czy tak może być tego nie wiem - może tak).
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(i^{3}\right)=3 \Leftrightarrow \log_{i}\left(-i\right) \neq 3}\) bo \(\displaystyle{ i^{3}=i^{3}=-i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(i^{4}\right)=4 \Leftrightarrow \log_{i}\left(1\right)\neq 4}\) bo \(\displaystyle{ i^{4}=i^{4}=1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(i^{n}\right)=n}\) bo \(\displaystyle{ i^{n}=i^{n}}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(1\right)=0}\) bo \(\displaystyle{ i^{0}=1}\)
To chyba oczywiste.
Teraz cztery logarytmy, gdzie możemy (ale nie do końca) uzyskać liczbę zespoloną.
\(\displaystyle{ i^{i}=\left(e^{i \cdot \frac{\pi}{2} \right)^{i}=e^{i^{2} \cdot \frac{\pi}{2}}=e^{-1 \cdot \frac{\pi}{2}}}\), gdzie podstawowa własność liczb zespolonych \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\).
1) \(\displaystyle{ \log_{i}\left(e^{-\frac{\pi}{2}}\right)=i}\) bo \(\displaystyle{ i^{i}= e^{-\frac{\pi}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \left( i^{i}\right)^{2}=\left(e^{-\frac{\pi}{2}} \right)^2=e^{-\pi}}\)
2) \(\displaystyle{ \log_{i}\left(e^{-\pi}\right)=i^{2}=-1}\) ale chyba już zapis \(\displaystyle{ \log_{i}\left(e^{-\pi}\right) \neq -1}\), gdyż \(\displaystyle{ i^{-1}=-i \neq e^{-\pi}}\), gdzie ostatnia wartość to liczba rzeczywista.
\(\displaystyle{ \left( i^{i}\right)^{3}=\left(e^{-\frac{\pi}{2}} \right)^3=e^{- \frac{3 \cdot \pi}{2}}}\)
3) \(\displaystyle{ \log_{i}\left(e^{- \frac{3 \cdot \pi}{2}}\right)=i^{3}=-i}\)
\(\displaystyle{ \left( i^{i}\right)^{4}=\left(e^{-\frac{\pi}{2}} \right)^4=e^{-2 \cdot \pi}}}\)
4) \(\displaystyle{ \log_{i}\left(e^{- 2 \cdot \pi}}\right)=i^{4}=1}\) ale chyba już zapis \(\displaystyle{ \log_{i}(e^{-2 \cdot \pi}) \neq 1}\), gdyż \(\displaystyle{ i^{1}=i \neq e^{-2 \cdot \pi}}\), gdzie ostatnia wartość to liczba rzeczywista.
Czyli zapis: \(\displaystyle{ \log_{i}\left( e^{-\pi} \right) =-1}\) nie jest poprawny nawet dla liczb zespolonych.
Tak samo zapis: \(\displaystyle{ \log_{i}(e^{- 2 \cdot \pi}})=1}\) nie jest poprawny nawet dla liczb zespolonych.
To tyle co wymyśliłem na temat logarytmów o podstawie zespolonej.
Ja też nie słyszałem o takich logarytmach, ale pokażę do czego doszedłem, gdyby coś takiego istniało (czemu nie).
\(\displaystyle{ \log_{i}\left( i\right) =1}\) bo \(\displaystyle{ i^{1}=i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(i^{2}\right)=2}\) bo \(\displaystyle{ i^{2}=i^{2}=-1}\). Tutaj mała uwaga: (bardzo chyba) nie możemy napisać:
\(\displaystyle{ \log_{i}(-1)=2}\) bo fakt \(\displaystyle{ i^{2} =-1}\), ale liczba logarytmowana (chyba) musi być większa od zera \(\displaystyle{ \log_{a}(b)=c\Leftrightarrow a^{c}=b \wedge b>0}\)
(tak przynajmniej jest w logarytmach o rzeczywistych podstawach,czy tak może być tego nie wiem - może tak).
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(i^{3}\right)=3 \Leftrightarrow \log_{i}\left(-i\right) \neq 3}\) bo \(\displaystyle{ i^{3}=i^{3}=-i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(i^{4}\right)=4 \Leftrightarrow \log_{i}\left(1\right)\neq 4}\) bo \(\displaystyle{ i^{4}=i^{4}=1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(i^{n}\right)=n}\) bo \(\displaystyle{ i^{n}=i^{n}}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(1\right)=0}\) bo \(\displaystyle{ i^{0}=1}\)
To chyba oczywiste.
Teraz cztery logarytmy, gdzie możemy (ale nie do końca) uzyskać liczbę zespoloną.
\(\displaystyle{ i^{i}=\left(e^{i \cdot \frac{\pi}{2} \right)^{i}=e^{i^{2} \cdot \frac{\pi}{2}}=e^{-1 \cdot \frac{\pi}{2}}}\), gdzie podstawowa własność liczb zespolonych \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\).
1) \(\displaystyle{ \log_{i}\left(e^{-\frac{\pi}{2}}\right)=i}\) bo \(\displaystyle{ i^{i}= e^{-\frac{\pi}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \left( i^{i}\right)^{2}=\left(e^{-\frac{\pi}{2}} \right)^2=e^{-\pi}}\)
2) \(\displaystyle{ \log_{i}\left(e^{-\pi}\right)=i^{2}=-1}\) ale chyba już zapis \(\displaystyle{ \log_{i}\left(e^{-\pi}\right) \neq -1}\), gdyż \(\displaystyle{ i^{-1}=-i \neq e^{-\pi}}\), gdzie ostatnia wartość to liczba rzeczywista.
\(\displaystyle{ \left( i^{i}\right)^{3}=\left(e^{-\frac{\pi}{2}} \right)^3=e^{- \frac{3 \cdot \pi}{2}}}\)
3) \(\displaystyle{ \log_{i}\left(e^{- \frac{3 \cdot \pi}{2}}\right)=i^{3}=-i}\)
\(\displaystyle{ \left( i^{i}\right)^{4}=\left(e^{-\frac{\pi}{2}} \right)^4=e^{-2 \cdot \pi}}}\)
4) \(\displaystyle{ \log_{i}\left(e^{- 2 \cdot \pi}}\right)=i^{4}=1}\) ale chyba już zapis \(\displaystyle{ \log_{i}(e^{-2 \cdot \pi}) \neq 1}\), gdyż \(\displaystyle{ i^{1}=i \neq e^{-2 \cdot \pi}}\), gdzie ostatnia wartość to liczba rzeczywista.
Czyli zapis: \(\displaystyle{ \log_{i}\left( e^{-\pi} \right) =-1}\) nie jest poprawny nawet dla liczb zespolonych.
Tak samo zapis: \(\displaystyle{ \log_{i}(e^{- 2 \cdot \pi}})=1}\) nie jest poprawny nawet dla liczb zespolonych.
To tyle co wymyśliłem na temat logarytmów o podstawie zespolonej.
Logarytm o podstawie zespolonej
Może tak być bo można logarytm rozszerzyć, wtedy będzie po prostu przyjmował wartości zespolone. Jedynie 0 oraz 1 nie mogą wystąpić w podstawie (co ciekawe -1 już może być). Polecam się pobawić w wolframie.smallares25 pisze: Tutaj mała uwaga: (bardzo chyba) nie możemy napisać:
\(\displaystyle{ \log_{i}(-1)=2}\) bo fakt \(\displaystyle{ i^{2} =-1}\), ale liczba logarytmowana (chyba) musi być większa od zera \(\displaystyle{ \log_{a}(b)=c\Leftrightarrow a^{c}=b \wedge b>0}\)
(tak przynajmniej jest w logarytmach o rzeczywistych podstawach,czy tak może być tego nie wiem - może tak).
Nie jest poprawny bo jest to równe \(\displaystyle{ 2i}\)smallares25 pisze: Czyli zapis: \(\displaystyle{ \log_{i}\left( e^{-\pi} \right) =-1}\) nie jest poprawny nawet dla liczb zespolonych.
Najprostsze rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ \log_{z}a= \frac{\log a}{\log z} ,\text{ gdzie } a,z \in \mathbb{C}}\)
Angielska wikipedia podpowiada to samo.
-
smallares25
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 8 gru 2009, o 11:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mogilno
- Pomógł: 2 razy
Logarytm o podstawie zespolonej
Witam,
Chciałbym dzisiaj zaprezentować zestawienie logarytmów o podstawie zespolonej i nie tylko.
Gdy wynik to liczba \(\displaystyle{ -1}\):
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{3}=-1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{7}=-1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{11}=-1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{15}=-1}\)
Itd. Okres wynosi 4.
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i \right) =-1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{5} \right) =-1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{9} \right) =-1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{13} \right) =-1}\)
Itd. Okres wynosi 4.
Gdy wynik to liczba \(\displaystyle{ 0}\):
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{4}=0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}1=0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{8}=0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{12}=0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{16}=0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{20}=0}\)
Itd. Okres wynosi 4.
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{4}=0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{2} \right) =0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{6} \right) =0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{10} \right) =0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{14} \right) =0}\)
Itd. Okres wynosi 4.
Gdy wynik to liczba \(\displaystyle{ 1}\):
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^2=1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i=1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{5}=1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{9}=1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{13}=1}\)
Itd. Okres wynosi 4.
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{3} \right) =1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{7} \right) =1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{11} \right) =1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{15} \right) =1}\)
Itd. Okres wynosi 4.
Gdy wynik to liczba \(\displaystyle{ 2}\):
\(\displaystyle{ \log_{i}\left( -1\right) =2}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^2=2}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{6}=2}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{10}=2}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{12}=2}\)
Itd. Okres wynosi 2 i 4.
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{4} \right) =2}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{8} \right) =2}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{12} \right) =2}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{16} \right) =2}\)
Itd. Okres wynosi 4.
Gdy wynik wynosi \(\displaystyle{ 3}\) (uzyskałem tylko jeden taki logarytm):
\(\displaystyle{ \log_{i}i^3=3}\)
Gdy wynik jest dodatnią liczbą zespoloną:
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-\frac{\pi}{2}} =i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-\pi}=2i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-\frac{3 \cdot \pi}{2}}=3i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-2 \cdot \pi}}=4i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-\frac{5 \cdot \pi}{2}}=5i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-3 \cdot \pi}}=6i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-\frac{7 \cdot \pi}{2}}=7i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-4 \cdot \pi}}=8i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-\frac{9 \cdot \pi}{2}}=9i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-5 \cdot \pi}}=10i}\)
Itd. Okres wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)
Gdy wynik wynosi \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\):
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{3}=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{7}=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{11}=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{15}=- \frac{1}{2}}\)
Itd. Okres wynosi 4.
Gdy wynik wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\):
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{5}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{9}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{13}=\frac{1}{2}}\)
Itd. Okres wynosi 4.
To wszystko co chciałbym tutaj zamieścić.
Wybrałem tylko te logarytmy gdy wynik to liczba całkowita lub ułamek.
Pozdrawiam wszystkich.
Chciałbym dzisiaj zaprezentować zestawienie logarytmów o podstawie zespolonej i nie tylko.
Gdy wynik to liczba \(\displaystyle{ -1}\):
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{3}=-1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{7}=-1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{11}=-1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{15}=-1}\)
Itd. Okres wynosi 4.
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i \right) =-1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{5} \right) =-1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{9} \right) =-1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{13} \right) =-1}\)
Itd. Okres wynosi 4.
Gdy wynik to liczba \(\displaystyle{ 0}\):
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{4}=0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}1=0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{8}=0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{12}=0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{16}=0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{20}=0}\)
Itd. Okres wynosi 4.
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{4}=0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{2} \right) =0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{6} \right) =0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{10} \right) =0}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{14} \right) =0}\)
Itd. Okres wynosi 4.
Gdy wynik to liczba \(\displaystyle{ 1}\):
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^2=1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i=1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{5}=1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{9}=1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{13}=1}\)
Itd. Okres wynosi 4.
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{3} \right) =1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{7} \right) =1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{11} \right) =1}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{15} \right) =1}\)
Itd. Okres wynosi 4.
Gdy wynik to liczba \(\displaystyle{ 2}\):
\(\displaystyle{ \log_{i}\left( -1\right) =2}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^2=2}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{6}=2}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{10}=2}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}i^{12}=2}\)
Itd. Okres wynosi 2 i 4.
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{4} \right) =2}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{8} \right) =2}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{12} \right) =2}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}\left(-i^{16} \right) =2}\)
Itd. Okres wynosi 4.
Gdy wynik wynosi \(\displaystyle{ 3}\) (uzyskałem tylko jeden taki logarytm):
\(\displaystyle{ \log_{i}i^3=3}\)
Gdy wynik jest dodatnią liczbą zespoloną:
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-\frac{\pi}{2}} =i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-\pi}=2i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-\frac{3 \cdot \pi}{2}}=3i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-2 \cdot \pi}}=4i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-\frac{5 \cdot \pi}{2}}=5i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-3 \cdot \pi}}=6i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-\frac{7 \cdot \pi}{2}}=7i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-4 \cdot \pi}}=8i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-\frac{9 \cdot \pi}{2}}=9i}\)
\(\displaystyle{ \log_{i}e^{-5 \cdot \pi}}=10i}\)
Itd. Okres wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)
Gdy wynik wynosi \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\):
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{3}=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{7}=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{11}=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{15}=- \frac{1}{2}}\)
Itd. Okres wynosi 4.
Gdy wynik wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\):
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{5}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{9}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \log_{\left( -1\right) }i^{13}=\frac{1}{2}}\)
Itd. Okres wynosi 4.
To wszystko co chciałbym tutaj zamieścić.
Wybrałem tylko te logarytmy gdy wynik to liczba całkowita lub ułamek.
Pozdrawiam wszystkich.