Równość zespolona

[ohrajt]

Cześć, może mi ktoś wytłumaczyć dlaczego zbiorem rozwiązań równania poniżej są trzy punkty, a nie nieskończenie wiele?

\(\displaystyle{ \Im ( \frac{2}{z} ) =1}\)

Robię to tak:

\(\displaystyle{ \Im \frac{2}{a+bi} = \Im ( \frac{2a -2bi}{a^2+b^2} )= \frac{-2b}{a^2+b^2}}\)

Teraz mam:

\(\displaystyle{ \frac{-2b}{a^2+b^2}=1}\)
\(\displaystyle{ 0=a^2+b^2+2b}\)
\(\displaystyle{ 0=a^2+(b+1)^2 -1}\)
\(\displaystyle{ a^2+(b+1)^2=1}\)

[Premislav]

Robisz to całkiem nieźle, oprócz tego, że nie wywaliłeś zera, tj.\(\displaystyle{ 0+0i}\), które też spełnia końcową zależność, jest zupełnie dobrze. Ktoś (autor zbioru zdań, z którego korzystasz? Prowadzący zajęcia?) się po prostu pomylił, jeśli utrzymywał, że są tylko trzy rozwiązania. Albo po prostu w zadaniu były jakieś dodatkowe ograniczenia, o których zapomniałeś.

[gogo_2]

Ja tylko dodam, że do Wolframa trzeba czasem podchodzić z rezerwą.

[AiDi]

Ja dodam, że nie czasem, a bardzo często

[ohrajt]

Dobra chłopaki pomieszałem, chodzi o to żeby przedstawić na płaszczyźnie Gaussa zbiór liczb zespolonych spełniających powyższe równanie. Nie mogę na płaszczyźnie Gausa zaznaczyć tego, bo jak zazanaczę ten okrąg na płaszyźnie Gaussa to podstawiając niektóre wartości to nie jest spełniona równość.
Macie jakieś pomysły?

[gogo_2]

Jaki na przykład punkt nie działa?

[ohrajt]

np. (- 0.04606079858305435, 0.3) - ten punkt leży na okręgu

jak podstawiam to do \(\displaystyle{ \Im \frac{2a-2bi}{a^2+b^2}}\) to nie wychodzi 1

[gogo_2]

Ten okrąg ma środek w \(\displaystyle{ (0,-1)}\) i promień \(\displaystyle{ 1}\) więc taki punkt nie może na nim leżeć.
Na tym okręgu leżą punkty \(\displaystyle{ (\cos(\varphi), \sin(\varphi)-1)}\) gdzie \(\displaystyle{ \varphi}\) jest z przedziału od zera do \(\displaystyle{ 2\pi}\)(bo jest to okrąg jednostkowy przesunięty w dól o jeden.

(Właściwie to to nawet nie jest okrąg bo zero nie jest rozwiązaniem - okrąg bez jednego punktu)

[ohrajt]

Mój błąd chyba z racji takiej godziny

Ale wracając do przedstawienia na płaszczyźnie Gaussa to mogę po prostu ten okrąg na płaszczyźnie Gaussowaskiej naszkicować? Bo według mnie nie bardzo bo tu mam jednostke na wykresie a i b a na Gaussowskiej jest Im i Re.

[gogo_2]

Tak, tylko pamiętaj, żeby wyłączyć ten jeden punkt.
Oś pozioma to część rzeczywista(Re) czyli a, a pionowa to część urojona(Im) czyli b.

Zaznaczysz w ten sposób na płaszczyźnie wszystkie liczby zespolone \(\displaystyle{ z}\), dla których \(\displaystyle{ \Im ( \frac{2}{z} ) =1}\)