Pierwiastkowanie liczby zespolonej

[sambor1616]

Oblicz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki zespolone \(\displaystyle{ z=(-1)^{1/3}}\)

Wiem, ze trzeba wykorzystac wzor \(\displaystyle{ z_{k}=\sqrt[n]{\left| z\right| }} (\cos \frac{ \alpha+2k \pi }{n} +i\sin \frac{ \alpha+2k \pi }{n})}\)

\(\displaystyle{ n=\frac{1}{3}}\)

[Poszukujaca]

Tak, ten wzór musisz wykorzystać.

Najpierw zanim go użyjesz musisz policzyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), który charakteryzuje tę liczbę zespoloną. Zrobisz to używając wzorów:
\(\displaystyle{ \cos \alpha =\frac{x}{|z|}}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{y}{|z|}}\)

[sambor1616]

no i wychodzi mi
\(\displaystyle{ \cos \alpha = -1}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = 0}\) , czyli pod wzor \(\displaystyle{ \pi - \alpha _{0}}\) podstawiam kat \(\displaystyle{ \alpha _{0} = 0}\) no to wychodzi mi samo \(\displaystyle{ \pi}\) tak?
Z tego wychodzi \(\displaystyle{ Z=1(\cos \pi +i\sin \pi )}\)
\(\displaystyle{ \cos \pi = -1}\)
\(\displaystyle{ \sin \pi = 0}\) i co dalej?

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ \alpha=\pi}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ n=3}\).

Najpierw bierzesz \(\displaystyle{ k=0}\) i kończysz na \(\displaystyle{ k=n-1}\)
Pierwszy pierwiastek: \(\displaystyle{ \varphi_{1}=\sqrt[3]{\left| 1\right| }} (\cos \frac{ \pi }{3} +i\sin \frac{ \pi }{3})}\)