Postać trygonometryczna (nie było na forum takiej)

[Emiel Regis]

Witam.
Mam mały kłopot z przedstawieniem takiej liczby:
\(\displaystyle{ z=1+sin(\alpha)-icos(\alpha)}\)
Wyglada, że nie znam jakiegos wzoru trygonometrycznego bo licząc r potrzebuje zamienić:
\(\displaystyle{ 1+sin(\alpha)}\) na kwadrat jakiegoś wyrażenia. I brak pomysłu.
Gdyby zamienić sinus i cosinus miejscami to idzie od razu. Jednak temat zadania zakładam że jest poprawny.

[palazi]

\(\displaystyle{ 1 + sin(\alpha) = (sin( \frac{ }{2}) + cos( \frac{ }{2}) )^2}\)

[Emiel Regis]

Faktycznie ładnie sie rozpisuje. Jednak to mocno utrudnia pozniej wyliczenie fi.
\(\displaystyle{ cos(\phi)=\frac{1}{\sqrt2}(sin\frac{\alpha}{2}+cos\frac{\alpha}{2})}\)
\(\displaystyle{ sin(\phi)=\frac{-cos\alpha}{\sqrt2}(sin\frac{\alpha}{2}+cos\frac{\alpha}{2})}\)
Nie wiem co dalej z tym zrobić...

[Rogal]

Hmmm, może by zesumować ten sinus z cosinusem, korzystając wcześniej ze wzoru redukcyjnego? Znaczy \(\displaystyle{ \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} = \sin \frac{\alpha}{2} + \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) = 2\sin \frac{\pi}{4} \cos (\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4})}\)
Wtedy te pierwiastki się skrócą i wyjdzie ładne równanie trygonometryczne (w miarę )

[Emiel Regis]

Milcząco założyłeś, że alfa jest z pierwszej ćwiartki jednak nie zmienia to istoty problemu wiec niech tak alfa należy. Rozwiązałem to równanie i mi wyszło:
\(\displaystyle{ \phi=\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}+2k\pi}\)
lub
\(\displaystyle{ \phi=-\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}+2k\pi}\)
Drugie równanie po uproszczeniu wyglada:
\(\displaystyle{ sin\phi=-cos(\alpha)sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2})}\)
Ma ktoś pomysł jak to z kolei jeszcze policzyć?

[Jopekk]

Ja tam bym to zrobił tak:
\(\displaystyle{ z=1+(-\sin-\alpha-i\cos-\alpha)}\)
\(\displaystyle{ z=\cos0-\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)-i(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)}\)
\(\displaystyle{ z=2\sin^{2}(\frac{0.5\pi+\alpha}{2})-i\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)}\)
\(\displaystyle{ z=2\sin^{2}(\frac{0.5\pi+\alpha}{2})-i(2\sin(\frac{\frac{\pi}{2}+\alpha)}{2})\cos(\frac{\frac{\pi}{2}+\alpha)}{2})}\)
Wyciągamy przed nawias sinusa i zamieniamy sinus w nawiasie na cosinus i cosinus na sinus:
\(\displaystyle{ z=2\sin(\frac{\frac{\pi}{2}+\alpha}{2})(\cos\frac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2} +i\sin\frac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2})}\)
\(\displaystyle{ z=2\sin(\frac{\frac{\pi}{2}+\alpha}{2})(cis\frac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2})}\)

Tu więcej się nic wyliczyć nie da...
Jak się nie zgadza, to poprawie jutro.

[Rogal]

Przy wyprowadzaniu wzorów redukcyjnych rzeczywiście zakłada się, że kąt alfa jest z pierwszej ćwiartki, jednak okazuje się, że 'działają' one również dla innych kątów ; )
A co do tego cholerstwa, to nic mi do głowy nie przychodzi aktualnie...

[Emiel Regis]

Jasne, że działają, co najwyżej minus Ci sie pojawi przy innych ćwiartkach ; )

Co do Jopekk:
\(\displaystyle{ z=2\sin^{2}(\frac{0.5\pi+\alpha}{2})-2i\sin(\frac{\frac{\pi}{2}+\alpha}{2})\cos(\frac{\frac{\pi}{2}+\alpha}{2})}\)
czyli:
\(\displaystyle{ z=2sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2})(sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2})-icos(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}))}\)
i teraz chyba jakoś inaczej zamieniłem sin na cos i cos na sin bo argument:
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}}\)
zamieniłem na:
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\pi+(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2})}\)
I dzieki temu znaki sie odpowiednio zamienią. (cos w IV ćwiartce dodatni, sin ujemny)
Czyli wtedy jest:
\(\displaystyle{ z=2sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2})(cos(\frac{3}{2}\pi+(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}))+isin(\frac{3}{2}\pi+(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2})))}\)
Twoim zapisem:
\(\displaystyle{ z=2sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2})cis(\frac{7}{4}\pi+\frac{\alpha}{2})}\)
To ktoś z nas chyba coś pomieszał. Jeśli masz chwile to zobacz czy to nie przypadkiem ja.
Tak czy inaczej dzięki za pomysł bo sam obawiam się że mógłbym nie wpaść na takie jednak dość wyrafinowane przekształcenia.
Btw cis to Twój patent czy piszą tak w jakiejś książce : > Ja sie nie spotkałem...

[Jopekk]

Ja tam zawsze takie przekształcenie sprawdzam podstawiając przykładowe dwa kąty.
Co do Twojego przekształcenia, jak dla mnie nmożna zamienić w tym przypadku \(\displaystyle{ \alpha}\) na \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi+\alpha}\).
Ale przecież można skorzystać po prostu z tego, że:
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\)
i \(\displaystyle{ \sin\alpha=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\)

Jak tam z powyższego zamienimy cis na sin i sin na cis, to mamy minusa przy sinusie, wiec korzystajac z \(\displaystyle{ \sin-\alpha=-\sin\alpha}\) pozbywamy sie minusa. A potem korzystamy \(\displaystyle{ \cos-\alpha=\cos\alpha}\) i mamy ten sam kąt dla sinusa i cosiunsa w nawiasie.

Ja o tym cisie to na anglojęzycznych stronkach przeczytałem, to w sumie tylko uproszczony zapis jest, ale w Polskim systemie tego nie ma. To się wiąże z formą eulera, gdzie
\(\displaystyle{ z=|z|e^{i\alpha}}\) i \(\displaystyle{ z=|z|cis\alpha}\).

Jednak zarówno mój wynik jak i twój wynik jest identyczny biorąc pod uwagę, że \(\displaystyle{ cis\alpha=cis(\alpha+2k\pi)}\) dla dowolnego k całkowitego, bo \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{4}+2\pi=\frac{7\pi}{4}}\)

[Emiel Regis]

Heh, oczywiście że są identyczne
Z tym cis to skrót dobry tylko, że postać wykładnicza zamiast trygonometrycznej już jak sam wiesz załatwia sprawę krótszego zapisu.
A i [prawie] tyle samo sie człowiek namęczy pisząc "exp(i*fi)" czy "cis(fi)". No ale to wszystko kwestia gustu wiec jak komu wygodniej.