Wielokąt foremny a pierwiastki n-tego stopnia

[Poszukujaca]

Jak udowodnić, że zbiór pierwiastków n-tego stopnia (\(\displaystyle{ n \in N}\)) z danej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\) tworzy na płaszczyźnie wielokąt foremny o n-kątach wpisany w okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu równym \(\displaystyle{ \sqrt[n]{|z|}}\)?

Oczywiście wzór de Moivre'a: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|} \cdot \left( \cos \frac{\alpha+2k\pi}{n}+i \sin \frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)}\) jest punktem wyjścia w tym dowodzie.

Potem robię coś takiego:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=\left\{ w\in C: w^{n}=z \right\}}\)
Następnie muszę pokazać, że zbiór ten jest n-elementowy.
Tutaj korzystam ze wzoru de Moivre'a. Wiem, że kolejne pierwiastki powstają przez dobieranie współczynników \(\displaystyle{ k \in Z}\) począwszy od \(\displaystyle{ k=0}\). Dobieranie kolejnych liczb całkowitych kończy się, kiedy kąt \(\displaystyle{ \varphi=\frac{\alpha+2k\pi}{n} \ge 2 \pi}\), bo wtedy liczby się pokrywają. Jest to dla mnie oczywiste, że moduł mamy taki sam, a drugą własnością, która cechuje liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej jest jej argument, więc jak jest taki sam to liczby są te same.

Rozwiązuje więc nierówność: \(\displaystyle{ \frac{\alpha+2k \pi}{n}\ge 2 \pi \Leftrightarrow \alpha+2\pi(k-n) \le 0 \Leftrightarrow k-n \le 0 \Leftrightarrow n \ge k}\)
Czyli wniosek z tego taki, że: \(\displaystyle{ k \in \left\{ 0,...,n-1\right\}}\) a pierwiastków z liczby zespolonej n-tego stopnia jest dokładnie n.

Na tej zasadzie mogę twierdzić, że wielokąt ten ma n wierzchołków i n boków. Ale jak udowodnić dalszą część czyli, że jego środek to \(\displaystyle{ (0,0)}\), promień \(\displaystyle{ \sqrt[n]{|z|}}\) i co więcej jest on foremny?

[Premislav]

Na wstępie się wyzłośliwię, że teza nie działa dla \(\displaystyle{ n=2}\), bo co niby powstanie? Dwukąt?
Nie trzeba tak się trudzić z tym zbiorem \(\displaystyle{ n}\)-elementowym pierwiastków, bo przecież masz zasadnicze twierdzenie algebry (które dowodzi się np. przez nietrudną indukcję i z rozkładalności), no to można je sobie zastosować do wielomianu \(\displaystyle{ W(z)=z^{n}-z_{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ z_{0}}\) jest tą ustalona liczbą zespoloną. Faktem jest, że zasadnicze tw. algebry nie rozwiązuje kwestii tego, czy mamy \(\displaystyle{ n}\) różnych pierwiastków, ale jest takie fajne twierdzonko, że \(\displaystyle{ x_{0}}\) jest \(\displaystyle{ k}\)-krotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy pochodne do rzędu \(\displaystyle{ k-1}\) włącznie wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) zerują się w \(\displaystyle{ x_{0}}\), zaś pochodna rzędu \(\displaystyle{ k}\) - już nie. No to widzimy, że dla W(z) jak wyżej mamy \(\displaystyle{ W'(z)=nz^{n-1}}\), a to się zeruje tylko dla \(\displaystyle{ z=0}\) (które tu w ogóle powinno być wywalone z rozumowania).

No z promieniem to od razu idzie: promień \(\displaystyle{ z}\) to jest po prostu odległość od zera na płaszczyźnie zespolonej, tj. \(\displaystyle{ \left| z\right|}\). No to jeśli ma być \(\displaystyle{ z_{k}^{n}=z}\) dla pewnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z_{k}}\), to w szczególności \(\displaystyle{ \left| z_{k}^{n}\right|=\left| z\right|}\)
(chyba dokończysz).
Środek w \(\displaystyle{ (0,0)}\) to "oczywista oczywistość", bo każdy z tych pierwiastków \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ z}\) ma z powyższego rozumowania ten sam moduł, no ale moduł to jest odległość od \(\displaystyle{ (0,0)}\). Czyli te pierwiastki leżą na okręgu na płaszczyźnie zespolonej o promieniu...
i środku w \(\displaystyle{ (0,0)}\).
Foremność: przechodząc od \(\displaystyle{ k}\)-tego do \(\displaystyle{ k+1}\) pierwiastka, wykonujesz obrót o \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}}\) wokół środka okręgu, pozostając na okręgu. No to masz takie trójkąty równoramienne (wierzchołkami są: \(\displaystyle{ (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ k}\)-ty i \(\displaystyle{ k+1}\). pierwiastek) o ramionach długości sqrt[n]{left| z
ight| } i kącie między tymiż o mierze...
no i cecha przystawania bkb mówi, że podstawy też są równe, no ale te podstawy to ramiona \(\displaystyle{ n}\)-kąta (może warto to sobie narysować). No i jeszcze trzeba uargumentować, że kąty są równe, bo równość boków nie wystarcza do foremności, ale to już proste.

[Poszukujaca]

Na wstępie się wyzłośliwię, że teza nie działa dla \(\displaystyle{ n=2}\), bo co niby powstanie? Dwukąt?

Oczywiście

No z promieniem to od razu idzie: promień \(\displaystyle{ z}\) to jest po prostu odległość od zera na płaszczyźnie zespolonej, tj. \(\displaystyle{ \left| z\right|}\). No to jeśli ma być \(\displaystyle{ z_{k}^{n}=z}\) dla pewnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z_{k}}\), to w szczególności \(\displaystyle{ \left| z_{k}^{n}\right|=\left| z\right|}\)
(chyba dokończysz).

\(\displaystyle{ z_{k}=\sqrt[n]{|z|}}\)

Foremność: przechodząc od \(\displaystyle{ k}\)-tego do \(\displaystyle{ k+1}\) pierwiastka, wykonujesz obrót o \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}}\) wokół środka okręgu, pozostając na okręgu. No to masz takie trójkąty równoramienne (wierzchołkami są: \(\displaystyle{ (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ k}\)-ty i \(\displaystyle{ k+1}\). pierwiastek) o
ramionach długości sqrt[n]{left| z
ight| } i kącie między tymiż o mierze...
no i cecha przystawania bkb mówi, że podstawy też są równe, no ale te podstawy to ramiona \(\displaystyle{ n}\)-kąta (może warto to sobie narysować). No i jeszcze trzeba uargumentować, że kąty są równe, bo równość boków nie wystarcza do foremności, ale to już proste.

Czy równość kątów wynika z tego, że każda liczba powstaje przez obrót o kąt \(\displaystyle{ \frac{2 \pi}{n}}\)

[a4karo]

Na wstępie się wyzłośliwię, że teza nie działa dla n=2, bo co niby powstanie? Dwukąt?

Otóż tak, powstanie dwukąt. W geometrii euklidesowej ten obiekt jest odcinkiem, ale już w geometrii sferycznej wygląda całkiem przyzwoicie, ma kąty, pole. Przykładem dwukąta jest obszar wycięty ze sfery dwiema płaszczyznami przechodzącymi przez bieguny.

[Premislav]

\(\displaystyle{ z_{k}=\sqrt[n]{|z|}}\)

Oczywiście się zgadza.

Czy równość kątów wynika z tego, że każda liczba powstaje przez obrót o kąt \(\displaystyle{ \frac{2 \pi}{n}}\)

W zasadzie tak.
@a4karo: dziękuję bardzo, nie wiedziałem. Oczywiście jak zwykle musiałem popatrzeć na animacje, bo nie umiałem sobie tego wyobrazić... (tego wygibasa w geometrii sferycznej, nie odcinka)

[a4karo]

@a4karo: dziękuję bardzo, nie wiedziałem. Oczywiście jak zwykle musiałem popatrzeć na animacje, bo nie umiałem sobie tego wyobrazić... (tego wygibasa w geometrii sferycznej, nie odcinka)

Wystarczy popatrzeć na globus: dwukąt to obszar między dwoma południkami