Potrzebuję pomocy w narysowaniu tego zbioru
\(\displaystyle{ L( \alpha ,d)=\left\{ w\in \mathbb{C}:Re[e^{-i\alpha}(w-1)]+d>0\right\} , \alpha\in \mathbb{R}, d>0}\)
Z góry dziękuje
Naszkicować wszystkie wartości zespolone spełniające warunek
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 1 cze 2015, o 16:10
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Naszkicować wszystkie wartości zespolone spełniające warunek
Przyda się następujący fakt z teorii mnogości:
\(\displaystyle{ w \longmapsto w-1 \longmapsto e^{-i\alpha} (w-1) \longmapsto \Re \left[ e^{-i\alpha} (w-1) \right] \longmapsto \Re \left[ e^{-i\alpha} (w-1) \right] + d.}\)
Nazwijmy je jakoś:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
f_1(z) = z-1, & \qquad f_1 : \CC \to \CC \\
f_2(z) = e^{-i \alpha} \cdot z, & \qquad f_2 : \CC \to \CC \\
f_3(z) = \Re z, & \qquad f_3 : \CC \to \RR \\
f_4(z) = z + d, & \qquad f_4 : \RR \to \RR
\end{align*}$}\)
i wtedy
\(\displaystyle{ w \stackrel{f_1}{\longmapsto} w-1 \stackrel{f_2}{\longmapsto} e^{-i\alpha} (w-1) \stackrel{f_3}{\longmapsto} \Re \left[ e^{-i\alpha} (w-1) \right] \stackrel{f_4}{\longmapsto} \Re \left[ e^{-i\alpha} (w-1) \right] + d.}\)
Szukany jest zbiór
\(\displaystyle{ P = \{ w \in \CC : f_4(f_3(f_2(f_1(w)))) > 0 \} = (f_4 \circ f_3 \circ f_2 \circ f_1)^{-1}[ (0, \infty) ].}\)
Na mocy naszego faktu, możemy ten zbiór wyznaczyć sekwencyjnie:
\(\displaystyle{ A = (f_4)^{-1} \big[ (0, \infty) \big] \\
B = (f_3)^{-1} \big[ A \big] \\
C = (f_2)^{-1} \big[ B \big] \\
D = (f_1)^{-1} \big[ C \big]}\)
i \(\displaystyle{ P = D.}\)
- Załóżmy, że \(\displaystyle{ f : Y \to Z, \ g : X \to Y}\) oraz \(\displaystyle{ A \subseteq Z.}\) Wtedy
\(\displaystyle{ ( f \circ g )^{-1}[ A ] = g^{-1} \left[ f^{-1} \big[ A \big] \right].}\)
\(\displaystyle{ w \longmapsto w-1 \longmapsto e^{-i\alpha} (w-1) \longmapsto \Re \left[ e^{-i\alpha} (w-1) \right] \longmapsto \Re \left[ e^{-i\alpha} (w-1) \right] + d.}\)
Nazwijmy je jakoś:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
f_1(z) = z-1, & \qquad f_1 : \CC \to \CC \\
f_2(z) = e^{-i \alpha} \cdot z, & \qquad f_2 : \CC \to \CC \\
f_3(z) = \Re z, & \qquad f_3 : \CC \to \RR \\
f_4(z) = z + d, & \qquad f_4 : \RR \to \RR
\end{align*}$}\)
i wtedy
\(\displaystyle{ w \stackrel{f_1}{\longmapsto} w-1 \stackrel{f_2}{\longmapsto} e^{-i\alpha} (w-1) \stackrel{f_3}{\longmapsto} \Re \left[ e^{-i\alpha} (w-1) \right] \stackrel{f_4}{\longmapsto} \Re \left[ e^{-i\alpha} (w-1) \right] + d.}\)
Szukany jest zbiór
\(\displaystyle{ P = \{ w \in \CC : f_4(f_3(f_2(f_1(w)))) > 0 \} = (f_4 \circ f_3 \circ f_2 \circ f_1)^{-1}[ (0, \infty) ].}\)
Na mocy naszego faktu, możemy ten zbiór wyznaczyć sekwencyjnie:
\(\displaystyle{ A = (f_4)^{-1} \big[ (0, \infty) \big] \\
B = (f_3)^{-1} \big[ A \big] \\
C = (f_2)^{-1} \big[ B \big] \\
D = (f_1)^{-1} \big[ C \big]}\)
i \(\displaystyle{ P = D.}\)