Naszkicować wszystkie wartości zespolone spełniające warunek

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
studentka1544
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 1 cze 2015, o 16:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rzeszów

Naszkicować wszystkie wartości zespolone spełniające warunek

Post autor: studentka1544 »

Potrzebuję pomocy w narysowaniu tego zbioru
\(\displaystyle{ L( \alpha ,d)=\left\{ w\in \mathbb{C}:Re[e^{-i\alpha}(w-1)]+d>0\right\} , \alpha\in \mathbb{R}, d>0}\)
Z góry dziękuje
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Naszkicować wszystkie wartości zespolone spełniające warunek

Post autor: Dasio11 »

Przyda się następujący fakt z teorii mnogości:
  • Załóżmy, że \(\displaystyle{ f : Y \to Z, \ g : X \to Y}\) oraz \(\displaystyle{ A \subseteq Z.}\) Wtedy

    \(\displaystyle{ ( f \circ g )^{-1}[ A ] = g^{-1} \left[ f^{-1} \big[ A \big] \right].}\)
Fakt ów pozostaje prawdziwy, jeśli dwie funkcje zastąpimy dowolną liczbą funkcji. Przyjrzyjmy się teraz strukturze twojego problemu. Startujemy od liczby \(\displaystyle{ w \in \CC.}\) Potem nakładamy przekształcenia:

\(\displaystyle{ w \longmapsto w-1 \longmapsto e^{-i\alpha} (w-1) \longmapsto \Re \left[ e^{-i\alpha} (w-1) \right] \longmapsto \Re \left[ e^{-i\alpha} (w-1) \right] + d.}\)

Nazwijmy je jakoś:

\(\displaystyle{ $\begin{align*}
f_1(z) = z-1, & \qquad f_1 : \CC \to \CC \\
f_2(z) = e^{-i \alpha} \cdot z, & \qquad f_2 : \CC \to \CC \\
f_3(z) = \Re z, & \qquad f_3 : \CC \to \RR \\
f_4(z) = z + d, & \qquad f_4 : \RR \to \RR
\end{align*}$}\)


i wtedy

\(\displaystyle{ w \stackrel{f_1}{\longmapsto} w-1 \stackrel{f_2}{\longmapsto} e^{-i\alpha} (w-1) \stackrel{f_3}{\longmapsto} \Re \left[ e^{-i\alpha} (w-1) \right] \stackrel{f_4}{\longmapsto} \Re \left[ e^{-i\alpha} (w-1) \right] + d.}\)

Szukany jest zbiór

\(\displaystyle{ P = \{ w \in \CC : f_4(f_3(f_2(f_1(w)))) > 0 \} = (f_4 \circ f_3 \circ f_2 \circ f_1)^{-1}[ (0, \infty) ].}\)

Na mocy naszego faktu, możemy ten zbiór wyznaczyć sekwencyjnie:

\(\displaystyle{ A = (f_4)^{-1} \big[ (0, \infty) \big] \\
B = (f_3)^{-1} \big[ A \big] \\
C = (f_2)^{-1} \big[ B \big] \\
D = (f_1)^{-1} \big[ C \big]}\)


i \(\displaystyle{ P = D.}\) ;-)
ODPOWIEDZ