postać trygonometryczna

[epsylon]

proszę o pomoc
\(\displaystyle{ z=1-\cos-i\sin \alpha}\)
Moduł \(\displaystyle{ 2\sin \frac{ \alpha }{2}}\)
Wyznaczam argument \(\displaystyle{ arg z=\phi}\)
\(\displaystyle{ \cos\phi= \frac{1-\cos \alpha }{2\sin \frac{ \alpha }{2} }=\sin \frac{ \alpha }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\phi= \frac{-\sin \alpha }{2\sin \frac{ \alpha }{2} }= ????}\) nie wiem jak dalej, proszę o rady.

-- 21 kwi 2015, o 08:31 --

Proszę pomóżcie, jest to ważne dla mnie!

-- 21 kwi 2015, o 09:53 --

Proszę, spójrzcie, doszłam do takiego momentu.
\(\displaystyle{ \cos\phi=\sin \frac{ \alpha }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\phi=-\cos \frac{ \alpha }{2}}\)
przypuszczam ponadto, że będzie to czwarta ćwiartka w której znajduje się kąt \(\displaystyle{ \phi}\).
myślę o wzorze \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{2} + \alpha}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha odpowiada \frac{ \alpha }{2}}\)
Zatem, piszę niepewnie postać trygonometryczna tej liczby to \(\displaystyle{ 2\sin \frac{ \alpha }{2}(\cos( \frac{3 \pi }{2} + \frac{ \alpha }{2} ) + i\sin ( \frac{3 \pi }{2}+ \frac{ \alpha }{2} ))}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \tan \phi= \frac{-\sin \alpha}{1-\cos\alpha} =\frac{-2\sin \frac{ \alpha }{2} \cos \frac{ \alpha }{2} }{
\sin^2 \frac{ \alpha }{2} + \cos ^2\frac{ \alpha }{2} - \cos^2 \frac{ \alpha }{2}+\sin^2 \frac{ \alpha }{2} } = \frac{-\cos \frac{ \alpha }{2} }{\sin \frac{ \alpha }{2} } =-\ctg\left( \frac{ \alpha }{2}\right) =\\=-\tan\left( \frac{ \pi }{2} -\frac{ \alpha }{2}\right) =\tan\left( \frac{ \alpha }{2}-\frac{ \pi }{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \phi= \frac{ \alpha }{2}-\frac{ \pi }{2}}\)

2. wersja
\(\displaystyle{ z=1-\cos\alpha- i\sin \alpha=\sin^2 \frac{ \alpha }{2} + \cos ^2\frac{ \alpha }{2} - \cos^2 \frac{ \alpha }{2}+\sin^2 \frac{ \alpha }{2}-i2\sin \frac{ \alpha }{2} \cos \frac{ \alpha }{2}=\\=2 \sin \frac{ \alpha }{2}(\sin \frac{ \alpha }{2}-i\cos \frac{ \alpha }{2})=2 \sin \frac{ \alpha }{2}\left[ \cos (\frac{ \pi }{2} - \frac{ \alpha }{2})-i\sin(\frac{ \pi }{2} - \frac{ \alpha }{2})\right]}\)

Mimo że w obu wersjach kąty są różne to jest to takie samo rozwiązanie .Ty masz +, a ja - w części urojonej postaci trygonometrycznej.

[epsylon]

A to co ja mam ta czwarta ćwiartka nie pasuje tu?-- 21 kwi 2015, o 10:13 --Mogłabym tak zostawić? W postaci trygonometrycznej jest bowiem + w części urojonej.

[kerajs]

A to co ja mam ta czwarta ćwiartka nie pasuje tu?

Ciekawa składnia.

Mogłabym tak zostawić? W postaci trygonometrycznej jest bowiem + w części urojonej.

Oczywiście. Masz
\(\displaystyle{ 2\sin \frac{ \alpha }{2}(\cos( \frac{3 \pi }{2} + \frac{ \alpha }{2} ) + i\sin ( \frac{3 \pi }{2}+ \frac{ \alpha }{2} ))}\)
to to samo co
\(\displaystyle{ 2\sin \frac{ \alpha }{2}(\cos( \frac{ \alpha }{2} -\frac{ \pi }{2} ) + i\sin ( \frac{ \alpha }{2} -\frac{ \pi }{2}))}\)
oraz
\(\displaystyle{ 2 \sin \frac{ \alpha }{2}\left[ \cos (\frac{ \pi }{2} - \frac{ \alpha }{2})-i\sin(\frac{ \pi }{2} - \frac{ \alpha }{2})\right]}\)

Przyznaję,ze gdy pisałem odpowiedź na Twój temat , nie miał on jeszcze 3 ostatnich linijek. Stąd brak potwierdzenia Twojego prawidłowego rozwiązania.

[epsylon]

Rozumiem, próbowałam sprawdzić przyjmując za \(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{2}}\) konkretną miarę konta. Liczyłam na dwa sposoby moim i Waszym, wychodzi zupełnie co innego. Dla \(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{2} = \frac{ \pi }{3}}\) Proszę, przelicz, zobaczę, gdzie robię błąd.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{2} = \frac{ \pi }{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{2} = \frac{ \pi }{3}=60 ^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \alpha =120 ^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ z=1-\cos \alpha -i\sin \alpha=1-\cos 120 ^{\circ} -i\sin 120 ^{\circ}=1-(- \frac{ 1 }{2} )-i \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{ 3 }{2} -i \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2\sin \frac{ \alpha }{2}(\cos( \frac{3 \pi }{2} + \frac{ \alpha }{2} ) + i\sin ( \frac{3 \pi }{2}+ \frac{ \alpha }{2} ))=
2\sin 60 ^{\circ}(\cos 330 ^{\circ} + i\sin 330 ^{\circ})=\\=2 \frac{ \sqrt{3} }{2}(\frac{ \sqrt{3} }{2}+i(\frac{ -1 }{2}))=\frac{ 3 }{2} -i \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

[epsylon]

Wiem, gdzie robiłam błąd. Dziękuję