Problem z takim zadaniem:
\(\displaystyle{ z^{4} - 3z^{2} + 4 = 0}\)
W odpowiedziach mam pierwiastki:
\(\displaystyle{ z_{1} = \frac{\sqrt{7}+ i }{2} \\
z_{2} = - \frac{\sqrt{7} + i}{2} \\
z_{3} = \frac{\sqrt{7} - i }{2} \\
z_{4} = - \frac{\sqrt{7}- i }{2}}\)
ja ani moi znajomi nie wiemy skąd się to wzięło
wiem, że trzeba podstawić niewiadomą \(\displaystyle{ t}\), lecz nadal nie wiem co dalej.
Równanie zespolone
-
Czarny94
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 18 kwie 2015, o 15:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Równanie zespolone
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2015, o 20:36 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Czy tak ciężko jest zrozumieć, że znaki równości i inne operatory arytmetyczne to symbole matematyczne, które poza tagami wyglądają nieładnie?
Powód: Czy tak ciężko jest zrozumieć, że znaki równości i inne operatory arytmetyczne to symbole matematyczne, które poza tagami wyglądają nieładnie?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Równanie zespolone
A tam niewiadomą \(\displaystyle{ t}\).
\(\displaystyle{ z^{4}-3z^{2}+4=\left(z^{2}- \frac{3}{2}\right)^{2}+ \frac{7}{4}=\left(z^{2}- \frac{3}{2}\right)^{2}-\left( \frac{ \sqrt{7}i }{2}\right)^{2}}\) i możesz zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
\(\displaystyle{ z^{4}-3z^{2}+4=\left(z^{2}- \frac{3}{2}\right)^{2}+ \frac{7}{4}=\left(z^{2}- \frac{3}{2}\right)^{2}-\left( \frac{ \sqrt{7}i }{2}\right)^{2}}\) i możesz zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
-
Czarny94
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 18 kwie 2015, o 15:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Równanie zespolone
Dzięki za odpowiedź. Jestem jednak troche kiepski w liczby zespolone i nadal nie wiemy co zrobić dalej. Mogę prosić o sprowadzenie tego chociaż do 1 pierwiastka?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Równanie zespolone
Sorry, ale nie chce mi się tego liczyć. Rozkładasz to na iloczyn trójmianów:
\(\displaystyle{ \left(z^{2}- \frac{3}{2}- \frac{ \sqrt{7}i }{2}\right)\left(z^{2}- \frac{3}{2}+ \frac{ \sqrt{7}i }{2}\right)=0}\),
wyliczasz pierwiastki jednego z tych trójmianów (np. licząc deltę albo robiąc podobną sztuczkę jeszcze raz), a potem dopisujesz sprzężenia otrzymanych pierwiastków i voila.
A jak chciałeś koniecznie ze zmienna pomocniczą \(\displaystyle{ t}\), to było podstawić \(\displaystyle{ t=z^{2}}\) i masz równanie kwadratowe \(\displaystyle{ t^{2}-3t+4=0}\). to wyliczasz np. pałując deltą, a potem liczysz pierwiastki otrzymanych rozwiązań (bo \(\displaystyle{ z=t^{2}}\)).
\(\displaystyle{ \left(z^{2}- \frac{3}{2}- \frac{ \sqrt{7}i }{2}\right)\left(z^{2}- \frac{3}{2}+ \frac{ \sqrt{7}i }{2}\right)=0}\),
wyliczasz pierwiastki jednego z tych trójmianów (np. licząc deltę albo robiąc podobną sztuczkę jeszcze raz), a potem dopisujesz sprzężenia otrzymanych pierwiastków i voila.
A jak chciałeś koniecznie ze zmienna pomocniczą \(\displaystyle{ t}\), to było podstawić \(\displaystyle{ t=z^{2}}\) i masz równanie kwadratowe \(\displaystyle{ t^{2}-3t+4=0}\). to wyliczasz np. pałując deltą, a potem liczysz pierwiastki otrzymanych rozwiązań (bo \(\displaystyle{ z=t^{2}}\)).