Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: Poszukujaca »

Mam wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu kwadratowego:
\(\displaystyle{ az^{2}+bz+c}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b, c \in \CC}\).

Wiem, że można potraktować go jak zwykłe równanie kwadratowe i działać na wzorach stosowanych do funkcji kwadratowej. Jednak mój problem polega na tym, jak poradzić sobie z pierwiastkiem z delty.. Tymbardziej, że muszę zrobić to bez znajomości wzoru na pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej.
Awatar użytkownika
rtuszyns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2042
Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 229 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: rtuszyns »

A próbowałaś po prostu wziąć:
\(\displaystyle{ a=x_1+iy_1\\
b=x_2+iy_2\\
c=x_3+iy_3}\)

gdzie \(\displaystyle{ x_j,y_j\in\RR}\) ?
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: Poszukujaca »

rtuszyns, Tak. Wtedy wychodzą mi identyczne wzory jak na pierwiastki równania kwadratowego ze zmiennmi rzeczywistymi, a chyba nie o takie wzory chodzi. Identyczne tylko w miejsce a, b,c jest to, co napisałeś.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: yorgin »

Poszukujaca pisze:Wtedy wychodzą mi identyczne wzory jak na pierwiastki równania kwadratowego ze zmiennmi rzeczywistymi, a chyba nie o takie wzory chodzi.
Wzory są identyczne. Tak czy siak, nie da się uniknąć napisania w nich pierwiastka z liczby zespolone.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: Poszukujaca »

Odkopuję temat..

Jak wyprowadzić te wzory?
Awatar użytkownika
Igor V
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1605
Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 604 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: Igor V »

\(\displaystyle{ W(z)=az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)}\).Wymnóż prawą stronę i porównaj z lewą.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: Poszukujaca »

Igor V, w ten sposób można wyprowadzić wzory Viete'a. Mi jednak chodzi o pierwiastki zespolone trójmianu.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: kerajs »

A może tak :
\(\displaystyle{ az^2+bz+c=0 \ \ \wedge \ \ a \neq 0 \\ z^2+ \frac{b}{a}z+ \frac{c}{a}=0 \\
(z+ \frac{b}{2a} )^2- \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2}=0 \\
(z+ \frac{b}{2a} )^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2}\\
\left| z+ \frac{b}{2a}\right| = \frac{ (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a} \\
z+ \frac{b}{2a} = \frac{ (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a} \vee z+ \frac{b}{2a} = - \frac{ (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a}\\
z = \frac{ -b+(i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a} \vee z = \frac{-b- (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a}\\}\)
Ostatnio zmieniony 4 cze 2015, o 22:26 przez kerajs, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Igor V
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1605
Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 604 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: Igor V »

Aj aj aj coś źle spojrzałem bo myślałem że chodzi o wzory Viete'a. rtuszyns i yorgin podali już jak wyprowadzić.Różnica będzie tylko tak że pierwiastki z delty zawsze będą istnieć.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: Poszukujaca »

kerajs, ten sposób jest świetny. I właśnie tego szukałam. To w sumie analogicznie jak w tym wątku: Wyprowadzenie wzoru na wyróżnik i pierwiastki. .

Tylko nie mogę zrozumieć skąd wzięło się to?
\(\displaystyle{ (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2}}}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: kerajs »

Sorry, to efekt lenistwa i próba odejścia od schematu.

Nie chciało mi się rozpisywać dwóch przypadków dla znaku wyróżnika :
\(\displaystyle{ (z+ \frac{b}{2a} )^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2}\\}\)
dla \(\displaystyle{ b^2-4ac \ge 0}\) mam
\(\displaystyle{ \left| z+ \frac{b}{2a}\right| = \frac{ \sqrt{b^2-4ac } }{2a} \\
z+ \frac{b}{2a} = \frac{ \sqrt{b^2-4ac } }{2a} \ \ \vee \ \ z+ \frac{b}{2a} = - \frac{ \sqrt{b^2-4ac } }{2a} \\
z = \frac{ -b+\sqrt{b^2-4ac } }{2a} \ \ \vee \ \ z = \frac{-b- \sqrt{b^2-4ac } }{2a}}\)

a dla \(\displaystyle{ b^2-4ac < 0}\) :
\(\displaystyle{ \left| z+ \frac{b}{2a}\right| = \frac{ i\sqrt{4ac-b^2 } }{2a} \\
z+ \frac{b}{2a} = \frac{ i\sqrt{4ac-b^2 } }{2a} \ \ \vee \ \ z+ \frac{b}{2a} = - \frac{ i\sqrt{4ac-b^2 } }{2a} \\
z = \frac{ -b+i\sqrt{4ac-b^2 } }{2a} \ \ \vee \ \ z = \frac{-b-i \sqrt{4ac-b^2 } }{2a}}\)
więc pomyślałem jak sprytnie (?) zapisać to jednym wzorkiem. Pierwsze co przyszło mi do głowy to współczynnik o który pytasz . Signum przyjmując wartości 1 i -1 daje rozwiązanie rzeczywiste bądź zespolone (możesz to łatwo sprawdzić).
Niestety, widzę teraz że wzorek nie jest prawdziwy dla signum równego zero,więc pozostaje stosować to co jest powyżej. Przepraszam za zamieszanie.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: a4karo »

@kerajs
Chyba tego nie przemyślales. O lewej stronie masz moduł, czyli liczbę rzeczywistą, po prawej coś zespolonego???

Poza tym z \(\displaystyle{ |z|=a}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ z=\pm a}\).
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: kerajs »

a4karo pisze:@kerajs
Chyba tego nie przemyślales. O lewej stronie masz moduł, czyli liczbę rzeczywistą, po prawej coś zespolonego???
Poza tym z \(\displaystyle{ |z|=a}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ z=\pm a}\).
Bo widzisz, ja odczytałem współczynniki jako całkowite, a nie zespolone. Dlatego kreseczki we wzorach są wartościami bezwzględnymi.



Skoro współczynniki są zespolone to mocno ułatwia zapis:
\(\displaystyle{ az^2+bz+c=0 \ \ \wedge \ \ \left| a\right| \neq 0 \\ z^2+ \frac{b}{a}z+ \frac{c}{a}=0 \\
(z+ \frac{b}{2a} )^2- \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2}=0 \\
z+ \frac{b}{2a} = \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2 }}\\ z= \frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac} }{2a}}\)

Wyciągnięcie mianownika spod pierwiastka nie jest błędem gdyż i tak otrzyma się te same sprzężone rozwiązania.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: Poszukujaca »

Ok.. Więc na oba pierwiastki mamy jeden wzór: \(\displaystyle{ z=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\).
Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ z \in C}\) to \(\displaystyle{ a, b \in R}\), więc część urojona pierwiastka bierze się tylko z wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{b^2-4ac}}\), które z uwagi, że jest pierwiastkiem kwadratowym ma dwa sprzężone rozwiązania.

-- 5 cze 2015, o 08:43 --

Nie, nie pomieszało mi się... Przecież \(\displaystyle{ a,b}\) to współczynniki z równania kwadratowego. I \(\displaystyle{ a, b \in C}\).-- 5 cze 2015, o 08:48 --Zastanawiam się jak można na końcu ładnie skomentować ten wynik. \(\displaystyle{ \sqrt{4a^{2}}=\left\{ 2a,-2a \right\}}\), więc wtedy byłoby \(\displaystyle{ z_{1}=z=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \wedge z_{2}=z=\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\). Wiemy jednak, że te dwa wzory są równoważne, bo \(\displaystyle{ \sqrt{b^2-4ac}=\left\{ w,-w \right\}}\).

Czy dobrze wnioskuję?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

Post autor: kerajs »

Dobrze wnioskujesz.

Inny zapis:
\(\displaystyle{ z+ \frac{b}{2a} = \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2 }}\\
z=- \frac{b \overline{a}}{2a \overline{a}} + \sqrt{ \frac{\left( b^2-4ac\right)\overline{a}^2 }{4a^2 \overline{a} ^2}}\\
z=- \frac{b \overline{a}}{2\left| a\right|^2 } + \sqrt{ \frac{\left( b^2-4ac\right)\overline{a}^2 }{4\left| a\right| ^4}}\\
z= \frac{-b \overline{a}+ \sqrt{\left( b^2-4ac\right)\overline{a}^2} }{2\left| a\right|^2 } \\}\)


można go przekształcić w :
\(\displaystyle{ z=\frac{-b \cdot e ^{-i \arg (a)} + \sqrt{\left( b^2-4ac\right)\cdot e ^{-i2 \arg (a)}} }{2\left| a\right| }}\)
ODPOWIEDZ