Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu
Mam wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu kwadratowego:
\(\displaystyle{ az^{2}+bz+c}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b, c \in \CC}\).
Wiem, że można potraktować go jak zwykłe równanie kwadratowe i działać na wzorach stosowanych do funkcji kwadratowej. Jednak mój problem polega na tym, jak poradzić sobie z pierwiastkiem z delty.. Tymbardziej, że muszę zrobić to bez znajomości wzoru na pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej.
\(\displaystyle{ az^{2}+bz+c}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b, c \in \CC}\).
Wiem, że można potraktować go jak zwykłe równanie kwadratowe i działać na wzorach stosowanych do funkcji kwadratowej. Jednak mój problem polega na tym, jak poradzić sobie z pierwiastkiem z delty.. Tymbardziej, że muszę zrobić to bez znajomości wzoru na pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej.
- rtuszyns
- Użytkownik
- Posty: 2042
- Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 229 razy
Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu
A próbowałaś po prostu wziąć:
\(\displaystyle{ a=x_1+iy_1\\
b=x_2+iy_2\\
c=x_3+iy_3}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_j,y_j\in\RR}\) ?
\(\displaystyle{ a=x_1+iy_1\\
b=x_2+iy_2\\
c=x_3+iy_3}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_j,y_j\in\RR}\) ?
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu
rtuszyns, Tak. Wtedy wychodzą mi identyczne wzory jak na pierwiastki równania kwadratowego ze zmiennmi rzeczywistymi, a chyba nie o takie wzory chodzi. Identyczne tylko w miejsce a, b,c jest to, co napisałeś.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu
Wzory są identyczne. Tak czy siak, nie da się uniknąć napisania w nich pierwiastka z liczby zespolone.Poszukujaca pisze:Wtedy wychodzą mi identyczne wzory jak na pierwiastki równania kwadratowego ze zmiennmi rzeczywistymi, a chyba nie o takie wzory chodzi.
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu
Igor V, w ten sposób można wyprowadzić wzory Viete'a. Mi jednak chodzi o pierwiastki zespolone trójmianu.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu
A może tak :
\(\displaystyle{ az^2+bz+c=0 \ \ \wedge \ \ a \neq 0 \\ z^2+ \frac{b}{a}z+ \frac{c}{a}=0 \\
(z+ \frac{b}{2a} )^2- \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2}=0 \\
(z+ \frac{b}{2a} )^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2}\\
\left| z+ \frac{b}{2a}\right| = \frac{ (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a} \\
z+ \frac{b}{2a} = \frac{ (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a} \vee z+ \frac{b}{2a} = - \frac{ (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a}\\
z = \frac{ -b+(i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a} \vee z = \frac{-b- (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a}\\}\)
\(\displaystyle{ az^2+bz+c=0 \ \ \wedge \ \ a \neq 0 \\ z^2+ \frac{b}{a}z+ \frac{c}{a}=0 \\
(z+ \frac{b}{2a} )^2- \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2}=0 \\
(z+ \frac{b}{2a} )^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2}\\
\left| z+ \frac{b}{2a}\right| = \frac{ (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a} \\
z+ \frac{b}{2a} = \frac{ (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a} \vee z+ \frac{b}{2a} = - \frac{ (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a}\\
z = \frac{ -b+(i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a} \vee z = \frac{-b- (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2} } \sqrt{\left|b^2-4ac \right| } }{2a}\\}\)
Ostatnio zmieniony 4 cze 2015, o 22:26 przez kerajs, łącznie zmieniany 2 razy.
- Igor V
- Użytkownik
- Posty: 1605
- Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 604 razy
Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu
Aj aj aj coś źle spojrzałem bo myślałem że chodzi o wzory Viete'a. rtuszyns i yorgin podali już jak wyprowadzić.Różnica będzie tylko tak że pierwiastki z delty zawsze będą istnieć.
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu
kerajs, ten sposób jest świetny. I właśnie tego szukałam. To w sumie analogicznie jak w tym wątku: Wyprowadzenie wzoru na wyróżnik i pierwiastki. .
Tylko nie mogę zrozumieć skąd wzięło się to?
\(\displaystyle{ (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2}}}\)
Tylko nie mogę zrozumieć skąd wzięło się to?
\(\displaystyle{ (i) ^{ \frac{1-sgn(b^2-4ac )}{2}}}\)
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu
Sorry, to efekt lenistwa i próba odejścia od schematu.
Nie chciało mi się rozpisywać dwóch przypadków dla znaku wyróżnika :
Niestety, widzę teraz że wzorek nie jest prawdziwy dla signum równego zero,więc pozostaje stosować to co jest powyżej. Przepraszam za zamieszanie.
Nie chciało mi się rozpisywać dwóch przypadków dla znaku wyróżnika :
więc pomyślałem jak sprytnie (?) zapisać to jednym wzorkiem. Pierwsze co przyszło mi do głowy to współczynnik o który pytasz . Signum przyjmując wartości 1 i -1 daje rozwiązanie rzeczywiste bądź zespolone (możesz to łatwo sprawdzić).\(\displaystyle{ (z+ \frac{b}{2a} )^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2}\\}\)
dla \(\displaystyle{ b^2-4ac \ge 0}\) mam
\(\displaystyle{ \left| z+ \frac{b}{2a}\right| = \frac{ \sqrt{b^2-4ac } }{2a} \\
z+ \frac{b}{2a} = \frac{ \sqrt{b^2-4ac } }{2a} \ \ \vee \ \ z+ \frac{b}{2a} = - \frac{ \sqrt{b^2-4ac } }{2a} \\
z = \frac{ -b+\sqrt{b^2-4ac } }{2a} \ \ \vee \ \ z = \frac{-b- \sqrt{b^2-4ac } }{2a}}\)
a dla \(\displaystyle{ b^2-4ac < 0}\) :
\(\displaystyle{ \left| z+ \frac{b}{2a}\right| = \frac{ i\sqrt{4ac-b^2 } }{2a} \\
z+ \frac{b}{2a} = \frac{ i\sqrt{4ac-b^2 } }{2a} \ \ \vee \ \ z+ \frac{b}{2a} = - \frac{ i\sqrt{4ac-b^2 } }{2a} \\
z = \frac{ -b+i\sqrt{4ac-b^2 } }{2a} \ \ \vee \ \ z = \frac{-b-i \sqrt{4ac-b^2 } }{2a}}\)
Niestety, widzę teraz że wzorek nie jest prawdziwy dla signum równego zero,więc pozostaje stosować to co jest powyżej. Przepraszam za zamieszanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu
@kerajs
Chyba tego nie przemyślales. O lewej stronie masz moduł, czyli liczbę rzeczywistą, po prawej coś zespolonego???
Poza tym z \(\displaystyle{ |z|=a}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ z=\pm a}\).
Chyba tego nie przemyślales. O lewej stronie masz moduł, czyli liczbę rzeczywistą, po prawej coś zespolonego???
Poza tym z \(\displaystyle{ |z|=a}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ z=\pm a}\).
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu
Bo widzisz, ja odczytałem współczynniki jako całkowite, a nie zespolone. Dlatego kreseczki we wzorach są wartościami bezwzględnymi.a4karo pisze:@kerajs
Chyba tego nie przemyślales. O lewej stronie masz moduł, czyli liczbę rzeczywistą, po prawej coś zespolonego???
Poza tym z \(\displaystyle{ |z|=a}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ z=\pm a}\).
Skoro współczynniki są zespolone to mocno ułatwia zapis:
\(\displaystyle{ az^2+bz+c=0 \ \ \wedge \ \ \left| a\right| \neq 0 \\ z^2+ \frac{b}{a}z+ \frac{c}{a}=0 \\
(z+ \frac{b}{2a} )^2- \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2}=0 \\
z+ \frac{b}{2a} = \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2 }}\\ z= \frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac} }{2a}}\)
Wyciągnięcie mianownika spod pierwiastka nie jest błędem gdyż i tak otrzyma się te same sprzężone rozwiązania.
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu
Ok.. Więc na oba pierwiastki mamy jeden wzór: \(\displaystyle{ z=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\).
Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ z \in C}\) to \(\displaystyle{ a, b \in R}\), więc część urojona pierwiastka bierze się tylko z wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{b^2-4ac}}\), które z uwagi, że jest pierwiastkiem kwadratowym ma dwa sprzężone rozwiązania.
-- 5 cze 2015, o 08:43 --
Nie, nie pomieszało mi się... Przecież \(\displaystyle{ a,b}\) to współczynniki z równania kwadratowego. I \(\displaystyle{ a, b \in C}\).-- 5 cze 2015, o 08:48 --Zastanawiam się jak można na końcu ładnie skomentować ten wynik. \(\displaystyle{ \sqrt{4a^{2}}=\left\{ 2a,-2a \right\}}\), więc wtedy byłoby \(\displaystyle{ z_{1}=z=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \wedge z_{2}=z=\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\). Wiemy jednak, że te dwa wzory są równoważne, bo \(\displaystyle{ \sqrt{b^2-4ac}=\left\{ w,-w \right\}}\).
Czy dobrze wnioskuję?
Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ z \in C}\) to \(\displaystyle{ a, b \in R}\), więc część urojona pierwiastka bierze się tylko z wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{b^2-4ac}}\), które z uwagi, że jest pierwiastkiem kwadratowym ma dwa sprzężone rozwiązania.
-- 5 cze 2015, o 08:43 --
Nie, nie pomieszało mi się... Przecież \(\displaystyle{ a,b}\) to współczynniki z równania kwadratowego. I \(\displaystyle{ a, b \in C}\).-- 5 cze 2015, o 08:48 --Zastanawiam się jak można na końcu ładnie skomentować ten wynik. \(\displaystyle{ \sqrt{4a^{2}}=\left\{ 2a,-2a \right\}}\), więc wtedy byłoby \(\displaystyle{ z_{1}=z=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \wedge z_{2}=z=\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\). Wiemy jednak, że te dwa wzory są równoważne, bo \(\displaystyle{ \sqrt{b^2-4ac}=\left\{ w,-w \right\}}\).
Czy dobrze wnioskuję?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu
Dobrze wnioskujesz.
Inny zapis:
\(\displaystyle{ z+ \frac{b}{2a} = \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2 }}\\
z=- \frac{b \overline{a}}{2a \overline{a}} + \sqrt{ \frac{\left( b^2-4ac\right)\overline{a}^2 }{4a^2 \overline{a} ^2}}\\
z=- \frac{b \overline{a}}{2\left| a\right|^2 } + \sqrt{ \frac{\left( b^2-4ac\right)\overline{a}^2 }{4\left| a\right| ^4}}\\
z= \frac{-b \overline{a}+ \sqrt{\left( b^2-4ac\right)\overline{a}^2} }{2\left| a\right|^2 } \\}\)
można go przekształcić w :
\(\displaystyle{ z=\frac{-b \cdot e ^{-i \arg (a)} + \sqrt{\left( b^2-4ac\right)\cdot e ^{-i2 \arg (a)}} }{2\left| a\right| }}\)
Inny zapis:
\(\displaystyle{ z+ \frac{b}{2a} = \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2 }}\\
z=- \frac{b \overline{a}}{2a \overline{a}} + \sqrt{ \frac{\left( b^2-4ac\right)\overline{a}^2 }{4a^2 \overline{a} ^2}}\\
z=- \frac{b \overline{a}}{2\left| a\right|^2 } + \sqrt{ \frac{\left( b^2-4ac\right)\overline{a}^2 }{4\left| a\right| ^4}}\\
z= \frac{-b \overline{a}+ \sqrt{\left( b^2-4ac\right)\overline{a}^2} }{2\left| a\right|^2 } \\}\)
można go przekształcić w :
\(\displaystyle{ z=\frac{-b \cdot e ^{-i \arg (a)} + \sqrt{\left( b^2-4ac\right)\cdot e ^{-i2 \arg (a)}} }{2\left| a\right| }}\)