Wyprowadzić wzór na pierwiastki zespolone trójmianu

[Poszukujaca]

No tak. Okazała się tutaj pomocna równość: \(\displaystyle{ z \overline{z} = |z|}\).

[a4karo]

Ok.. Więc na oba pierwiastki mamy jeden wzór: \(\displaystyle{ z=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\).
Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ z \in C}\) to \(\displaystyle{ a, b \in R}\), więc część urojona pierwiastka bierze się tylko z wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{b^2-4ac}}\), które z uwagi, że jest pierwiastkiem kwadratowym ma dwa sprzężone rozwiązania.

-- 5 cze 2015, o 08:43 --

Nie, nie pomieszało mi się... Przecież \(\displaystyle{ a,b}\) to współczynniki z równania kwadratowego. I \(\displaystyle{ a, b \in C}\).

-- 5 cze 2015, o 08:48 --

Zastanawiam się jak można na końcu ładnie skomentować ten wynik. \(\displaystyle{ \sqrt{4a^{2}}=\left\{ 2a,-2a \right\}}\), więc wtedy byłoby \(\displaystyle{ z_{1}=z=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \wedge z_{2}=z=\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\). Wiemy jednak, że te dwa wzory są równoważne, bo \(\displaystyle{ \sqrt{b^2-4ac}=\left\{ w,-w \right\}}\).

Czy dobrze wnioskuję?

Niestety nie, a kerajs Cię w tym błędzie umacnia;

Przede wszystkim zapis: nie ma tu rozróżnienia między pierwiastkiem algebraicznym (czyli rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^2=a}\) a funkcją oznaczaną symbolem \(\displaystyle{ \sqrt{\ \ }}\)

Rzeczywiście istnieją dwa pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^2=4}\) (są to \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -2}\)) ale \(\displaystyle{ \sqrt{4}=2}\) i inaczej nie będzie, bo tak sie cały świat umówił. Jeżeli chcesz pisać \(\displaystyle{ \sqrt{4}=\pm 2}\) to musisz zrezygnowac z nazywania tego pierwiastka funkcją (odsyłam do szkolnej definicji funkcji).

Zatem stwierdzenie:

na oba pierwiastki mamy jeden wzór: \(\displaystyle{ z=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\).

jest bez sensu, bo to \(\displaystyle{ \sqrt{\ \ }}\) oznacza funkcję (ten jeden z pierwiastków algebraicznych, który przyjęto oznaczac tym symbolem.

Prawidłowe za to jest stwierdzenie:
Mamy dwa pierwiastki \(\displaystyle{ z_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\) i \(\displaystyle{ z_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\), które jest prawdziwe niezależnie od tego czym jest funkcja \(\displaystyle{ \sqrt{}}\). A wyprowadzenie jest takie:

\(\displaystyle{ az^2+bz+c=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}\right]
=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]
=a\left(z+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\left(z+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)}\)

I tu za \(\displaystyle{ \sqrt{}}\) możesz przyjąć dowolny (ale w oby nawiasach ten sam) pierwiastek

[kerajs]

Czy dobrze wnioskuję?

Niestety nie, a kerajs Cię w tym błędzie umacnia;

(...)

Zatem stwierdzenie:

na oba pierwiastki mamy jeden wzór: \(\displaystyle{ z=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\).

jest bez sensu, bo to \(\displaystyle{ \sqrt{\ \ }}\) oznacza funkcję (ten jeden z pierwiastków algebraicznych, który przyjęto oznaczac tym symbolem.

Z całym szacunkiem a4karo, ale mnie nie przekonałeś. Skoro współczynniki trójmianu są zespolone to pierwiastek kwadratowy ma dwa rozwiązania. Podobnie jak w dowolnym zbiorze zadań zawierającym liczby zespolone przykłady z zapisem \(\displaystyle{ \sqrt{} \ ,\ \left( \sqrt[n]{}\right)}\) mają w odpowiedziach nie jeden, a dwa ( n ) rozwiązania.

[a4karo]

Nie muszę cie o tym przekonywać. Odpowiedz mi tylko na pytanie ile to jest \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\)?

[kerajs]

Wiedząc że \(\displaystyle{ 4}\) jest zespolona (co wynika z założeń ) to są dwie prawidłowe odpowiedzi : \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -2}\)

[a4karo]

A jak odróżnisz \(\displaystyle{ 4}\) zespolone od niezespolonego? Jaka jest różnica między \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{4+i-i}}\)?

Jakie sa pierwiastki trójmianu \(\displaystyle{ z^2-6z+5}\)? A trójmianu \(\displaystyle{ z^2-6z+(2+i)(2-i)}\)?

Ile to jest \(\displaystyle{ 2+\sqrt{4}}\) a ile \(\displaystyle{ 2+i+\sqrt{4} -i}\).


Może jak przemyślisz odpowiedzi na te pytania, to coś Ci sie wyjaśni

[kerajs]

Ale tak nie prowadzi się dyskusji, a4karo . Odpowiedziałem Ci na poprzednie pytanie, więc spodziewałem się konkluzji a nie kolejnych pytań.

Sądzę że zarówno autorce tematu, jak i zadającej/cemu jej to pytanie, jest wszystko jedno czy będzie to jeden , czy dwa proste wzorki.

odpowiedzi:    

Nie ma potrzeby rozróżniania gdyż w treści tematu współczynniki trójmianu określone są jako zespolone. Żadna. 1 i 5. 1 i 5. 4 i 0 , a tego wyniku nie uzyska się z powyższego wzoru .

[a4karo]

Pytania były po to, żebyś sobie przemyślał temat.

Niestety nie rozumiem odpowiedzi na ostatnie pytanie:
czy \(\displaystyle{ 2+\sqrt{4}= 4 \text{ i } 0}\), czy \(\displaystyle{ 2+\sqrt{4}= 4}\) a \(\displaystyle{ 2+i+\sqrt{4}-i= 4 \text{ i } 0}\) ?

Nie czujesz się niekomfortowo z tym, że po dodaniu zera otrzymujesz różne wyniki?

Problem polega też na tym, że widząc zapis \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\) nie wiesz, czy to jest przypadkiem \(\displaystyle{ \sqrt{4+0i}}\). Nie możesz zatem wnioskować, że \(\displaystyle{ \sqrt{9\cdot 4}=\sqrt{9}\sqrt{4}}\), bo nie masz pewności, że jakiś chochlik nie wstawił zespolonego zera.

W matematyce nie ma przymusu trzymania się woli większości. Jeżeli chcesz, możesz sobie zakładać, że \(\displaystyle{ \sqrt{}}\) nie jest funkcją. Ale jeżeli chcesz takich rzeczy nauczać (a tu na forum pomagamy zrozumieć), to raczej w temacie HydePark.

[kerajs]

Niestety nie rozumiem odpowiedzi na ostatnie pytanie:
czy \(\displaystyle{ 2+\sqrt{4}= 4 \text{ i } 0}\), czy \(\displaystyle{ 2+\sqrt{4}= 4}\) a \(\displaystyle{ 2+i+\sqrt{4}-i= 4 \text{ i } 0}\) ?

Będzie ona zrozumiała gdy przyjmiesz, że w naszej dyskusji ja odnoszę się wyłącznie do wzoru na pierwiastki trójmianu kwadratowego o współczynnikach zespolonych:
\(\displaystyle{ z= \frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac} }{2a}}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c \in \CC}\)
którym, jak pisałeś, wprowadzam w błąd autorkę tematu.
Tu wiem (sam je zresztą wyliczam) że wyrażenie podpierwiastkowe jest zespolone, nawet jak wygląda na liczbę rzeczywistą nieujemną. I dlatego twierdziłem, że wzór opisuje dwa z-ety.

W matematyce nie ma przymusu trzymania się woli większości. Jeżeli chcesz, możesz sobie zakładać, że \(\displaystyle{ \sqrt{}}\) nie jest funkcją.

Właśnie sądziłem, że trzymam się standardu. A wzmiankowanie o przykładach ze zbiorów zadań miało to jeszcze potwierdzić.



Konkludując:
Przy założeniach j.w. (a w każdym poscie o założeniach pisałem) nadal uważasz ze wprowadzam Koleżankę Poszukująca w błąd?




Niezależnie od odpowiedzi nasza rozmowa o szczególe wzoru, z którego nigdy nikt nie skorzysta, zapewniła tematowi 300 nadmiarowych odsłon. Zabawne.

Ale jeżeli chcesz takich rzeczy nauczać (a tu na forum pomagamy zrozumieć), to raczej w temacie HydePark.

Nie mam aspiracji aby na Forum uprawiać jakąkolwiek dydaktykę. Swoje posty zwykle traktuję jako wskazówki, sugestie lub rozwiązania (zdarza się że błędne) problemów. A jeśli czasem miewają niezamierzony walor edukacyjny, to wyłącznie dzięki błyskotliwości ich czytelników.

[a4karo]

Myślę, że nie ma sensu kontynuowanie tej wymiany zdań.
Mam tylko jedną prośbę: pożycz mi \(\displaystyle{ \sqrt{10000+0i}}\) do pierwszego i pozwól mi ustalać znaczenie tego symbolu wg Twoich zasad przy pożyczce i spłacie .