Postać liczby zespolonej

[epsylon]

Wyrazić przez \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ \cos x}\):

1. \(\displaystyle{ \cos 8x}\)

2. \(\displaystyle{ \sin 7x}\)

[szw1710]

Niech \(\displaystyle{ z=\cos x+i\sin x}\). Podnieś do \(\displaystyle{ 8}\) potęgi a) za pomocą wzoru de Moivre'a, b) za pomocą wzoru dwumianowego Newtona. Porównaj części rzeczywiste i urojone.

Proponuję jednak zacząć od \(\displaystyle{ \cos 2x}\) oraz \(\displaystyle{ \sin 2x}\) żeby zobaczyć, na czym to polega.

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ \sin2x=2\sin x\cos x \\ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x}\)

\(\displaystyle{ \cos8x=\cos2\left(2(2x)\right)}\)

[epsylon]

hmm, stoję w miejscu...

[szw1710]

SlotaWoj, tak ma wyjść.

epsylon, zastosuj się odkładnie od mojej wskazówki.

[epsylon]

Dobra, mam że cosinus to część rzeczywista pewnej liczby, a sinus że część urojona, a dalej... korzystam ze wzoru Moviera, całość do potęgi 8 i dalej nie wiem.
Eee, nie idzie, nie wiem...

[pyzol]

Z jednej strony masz, że:
\(\displaystyle{ \left( \cos x +i\sin x \right)^8 =\cos 8x + i\sin 8x}\)
Z drugiej strony:
\(\displaystyle{ \left( \cos x +i\sin x \right)^8=\cos^8 x +8i\cos^7 x\sin x-\binom{8}{2}\cos^6 x\sin^2 x+...}\)
Przyrównujesz części rzeczywiste i urojone do siebie i masz odpowiedni wynik.

[epsylon]

Myślałam, że można ominąć ten dwumian Newtona

[yorgin]

Można wielokrotnie (dużo razy) korzystać ze wzorów, które podał SlotaWoj. Ale dwumian jest nieco wygodniejszy. Poza tym nie ma w nim nic złego.

[epsylon]

Ten dwumian... Ciężka sprawa