Postać liczby zespolonej

[epsylon]

Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ z^{n} = \overline{z}}\)

[yorgin]

Pisałem Ci już o tym w innym temacie - to jest fałszywe stwierdzenie.

[epsylon]

Nie, jest prawdziwe, są rozwiązania

[yorgin]

Ale zadanie nie jest sformułowane w wersji "Znajdź rozwiązania" tylko "wykaż, że (coś jest prawdziwe)".

Mam się domyślać treści zadania? W takim przypadku mogę sobie wymyślić, co tylko zechcę.

[epsylon]

Rozwiąż równanie, tak brzmi treść zadania

[yorgin]

Aha, teraz nieco więcej światła zostało rzucone, więc można próbować cokolwiek robić.

Według mnie najprościej jest skorzystać z postaci wykładniczej. Wtedy mamy

\(\displaystyle{ r^ne^{int}=re^{-it}}\)

czyli

\(\displaystyle{ r^n=r}\)

oraz

\(\displaystyle{ e^{int}=e^{-it}}\).

Równanie \(\displaystyle{ r^n=r}\) ma dwa rozwiązania.

Równanie \(\displaystyle{ e^{int}=e^{-it}}\) jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ e^{i(n+1)t}=1}\), czyli \(\displaystyle{ i(n+1)t=2k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\).

Szczegóły do samodzielnego uzupełnienia.

[rafalpw]

Równanie \(\displaystyle{ e^{int}=e^{-it}}\) jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ e^{i(n+1)t}=1}\), czyli \(\displaystyle{ i(n+1)t=2k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\) .

Powinno być: \(\displaystyle{ (n+1)t=2k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\) .

[epsylon]

Nie wykorzystując postaci wykladniczej nie pójdzie?

[Kaf]

Można wykorzystać postać trygonometryczną (de facto rozwiązanie przebiega tak samo jak u yorgin):
\(\displaystyle{ r^n(\cos n\alpha+i\sin n\alpha)=r(\cos \alpha - i \sin \alpha)}\)
więc \(\displaystyle{ r^n=r}\), \(\displaystyle{ \cos n\alpha = \cos \alpha}\) i \(\displaystyle{ \sin n\alpha=-\sin \alpha = \sin (-\alpha)}\). Pozostaje znaleźć \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\).

[epsylon]

Ok, mam \(\displaystyle{ r ^{n} - r =0}\)

Co dalej ? Włączam r i mam \(\displaystyle{ r(r^{(n-1)} - 1}\)

[Kaf]

\(\displaystyle{ r(r^{n-1}-1)=0}\)

[epsylon]

\(\displaystyle{ r=0}\) lub \(\displaystyle{ r^{(n-1)} = 1}\)

Zatem\(\displaystyle{ r = \sqrt[(n-1)]{1}}\)

[yorgin]

To równanie rozwiązujemy w świecie liczb rzeczywistych, więc

\(\displaystyle{ r^{n-1}=1}\) daje \(\displaystyle{ r=1}\).

[epsylon]

Co z tym drugim rozwiązaniem? Jak to rozumieć?-- 6 kwi 2015, o 21:10 --Ale dlaczego w rzeczywistych?

[Medea 2]

Promień w postaci wykładniczej jest liczbą rzeczywistą, nieujemną.