Postać liczby zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 25 mar 2015, o 13:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: internet
- Podziękował: 8 razy
Postać liczby zespolonej
Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ z^{n} = \overline{z}}\)
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2015, o 18:22 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Postać liczby zespolonej
Ale zadanie nie jest sformułowane w wersji "Znajdź rozwiązania" tylko "wykaż, że (coś jest prawdziwe)".
Mam się domyślać treści zadania? W takim przypadku mogę sobie wymyślić, co tylko zechcę.
Mam się domyślać treści zadania? W takim przypadku mogę sobie wymyślić, co tylko zechcę.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Postać liczby zespolonej
Aha, teraz nieco więcej światła zostało rzucone, więc można próbować cokolwiek robić.
Według mnie najprościej jest skorzystać z postaci wykładniczej. Wtedy mamy
\(\displaystyle{ r^ne^{int}=re^{-it}}\)
czyli
\(\displaystyle{ r^n=r}\)
oraz
\(\displaystyle{ e^{int}=e^{-it}}\).
Równanie \(\displaystyle{ r^n=r}\) ma dwa rozwiązania.
Równanie \(\displaystyle{ e^{int}=e^{-it}}\) jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ e^{i(n+1)t}=1}\), czyli \(\displaystyle{ i(n+1)t=2k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\).
Szczegóły do samodzielnego uzupełnienia.
Według mnie najprościej jest skorzystać z postaci wykładniczej. Wtedy mamy
\(\displaystyle{ r^ne^{int}=re^{-it}}\)
czyli
\(\displaystyle{ r^n=r}\)
oraz
\(\displaystyle{ e^{int}=e^{-it}}\).
Równanie \(\displaystyle{ r^n=r}\) ma dwa rozwiązania.
Równanie \(\displaystyle{ e^{int}=e^{-it}}\) jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ e^{i(n+1)t}=1}\), czyli \(\displaystyle{ i(n+1)t=2k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\).
Szczegóły do samodzielnego uzupełnienia.
-
- Użytkownik
- Posty: 2203
- Rejestracja: 15 lis 2012, o 00:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 526 razy
Postać liczby zespolonej
Powinno być: \(\displaystyle{ (n+1)t=2k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\) .yorgin pisze: Równanie \(\displaystyle{ e^{int}=e^{-it}}\) jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ e^{i(n+1)t}=1}\), czyli \(\displaystyle{ i(n+1)t=2k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\) .
-
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 25 mar 2015, o 13:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: internet
- Podziękował: 8 razy
Postać liczby zespolonej
Nie wykorzystując postaci wykladniczej nie pójdzie?
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2015, o 21:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 826
- Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 187 razy
Postać liczby zespolonej
Można wykorzystać postać trygonometryczną (de facto rozwiązanie przebiega tak samo jak u yorgin):
\(\displaystyle{ r^n(\cos n\alpha+i\sin n\alpha)=r(\cos \alpha - i \sin \alpha)}\)
więc \(\displaystyle{ r^n=r}\), \(\displaystyle{ \cos n\alpha = \cos \alpha}\) i \(\displaystyle{ \sin n\alpha=-\sin \alpha = \sin (-\alpha)}\). Pozostaje znaleźć \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\).
\(\displaystyle{ r^n(\cos n\alpha+i\sin n\alpha)=r(\cos \alpha - i \sin \alpha)}\)
więc \(\displaystyle{ r^n=r}\), \(\displaystyle{ \cos n\alpha = \cos \alpha}\) i \(\displaystyle{ \sin n\alpha=-\sin \alpha = \sin (-\alpha)}\). Pozostaje znaleźć \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 25 mar 2015, o 13:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: internet
- Podziękował: 8 razy
Postać liczby zespolonej
Ok, mam \(\displaystyle{ r ^{n} - r =0}\)
Co dalej ? Włączam r i mam \(\displaystyle{ r(r^{(n-1)} - 1}\)
Co dalej ? Włączam r i mam \(\displaystyle{ r(r^{(n-1)} - 1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 25 mar 2015, o 13:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: internet
- Podziękował: 8 razy
Postać liczby zespolonej
\(\displaystyle{ r=0}\) lub \(\displaystyle{ r^{(n-1)} = 1}\)
Zatem\(\displaystyle{ r = \sqrt[(n-1)]{1}}\)
Zatem\(\displaystyle{ r = \sqrt[(n-1)]{1}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 25 mar 2015, o 13:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: internet
- Podziękował: 8 razy
Postać liczby zespolonej
Co z tym drugim rozwiązaniem? Jak to rozumieć?-- 6 kwi 2015, o 21:10 --Ale dlaczego w rzeczywistych?