pierwiastki z liczby zespolonej

[rafu007]

Witam,
Mam taki przykład:
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-8+8\sqrt{3}i }}\)
Liczę moduł:\(\displaystyle{ \left| z\right| = 16}\)

Liczę kąt \(\displaystyle{ \phi}\):
\(\displaystyle{ \cos\phi =\frac{-8}{16} = \frac{-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\phi = \frac{8 \sqrt{3}}{16}= \frac{ \sqrt{3}}{2}}\)

Pierwsza wątpliwość:
\(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{3}}\)

\(\displaystyle{ k_{0}= \sqrt[4]{16} \left( \cos { \frac{ \frac{\pi}{3} }{4} +i\sin { \frac{ \frac{\pi}{3} }{4} \right) =
2 \left( \cos \frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12} \right) =\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}= \frac{ \sqrt{3} }{2}+ \frac{1}{2}i}\)

\(\displaystyle{ k_{1}= \sqrt[4]{16} \left( \cos \frac{ \frac{\pi}{3}+2\pi }{4}+i\sin \frac{ \frac{\pi}{3}+2\pi }{4} \right) =2 \left( \cos \frac{5}{6}\pi +i\sin \frac{5}{6}\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ k_{2}= \sqrt[4]{16} \left( \cos \frac{ \frac{\pi}{3}+4\pi }{4}+i\sin \frac{ \frac{\pi}{3}+4\pi }{4} \right) =2 \left( \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right)}\)
\(\displaystyle{ k_{3}= \sqrt[4]{16} \left( \cos \frac{ \frac{\pi}{3}+6\pi }{4}+i\sin \frac{ \frac{\pi}{3}+6\pi }{4} \right) =-2}\)

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ 2\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)\quad \neq\quad \cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}}\)

[Barbara777]

1.Cosinus ujmny, czyli kat drugiej cwiartki (albo popatrz tak: czesc rzeczywista ujmna, urojona dodatnia). Czyli \(\displaystyle{ \varphi=\frac{2}{3}\pi}\)

2. A co to za herezja przy obliczaniu \(\displaystyle{ k_0}\)? )))
Jakim cudem z \(\displaystyle{ 2\cos\frac{\pi}{12}}\) zrobilo sie \(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{6}}\)? Wciagnales te dwojke pod znak cos, czy co? (Dalej nie czytalam)
3. \(\displaystyle{ \sqrt[4]{16}=2}\). tak bedzie ladniej.