\(\displaystyle{ z^{6} = (1 + 3i)^{12}}\)
Prosiłbym o rozwiązanie krok po kroku, chciałem to jakoś sprowadzić do pierwiastków 6-tego stopnia, ale już na samym początku zaczynają się schody, bo moduł wychodzi 1o :/
Rozwiąż równanie
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Rozwiąż równanie
No... to nie jest argument... tylko liczba.
Zacznij od tego, żeby zapisać liczbę \(\displaystyle{ w = (1+3i)}\) w postaci trygonometrycznej, ok?
Później podnieś ją do potęgi dwunastej.
Następnie policz pierwiastki szóstego stopnia z liczby \(\displaystyle{ w^{12}}\), ok?
Zacznij od tego, żeby zapisać liczbę \(\displaystyle{ w = (1+3i)}\) w postaci trygonometrycznej, ok?
Później podnieś ją do potęgi dwunastej.
Następnie policz pierwiastki szóstego stopnia z liczby \(\displaystyle{ w^{12}}\), ok?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Rozwiąż równanie
Ale ta liczba nie zapisuje się w sensowny sposób w postaci trygonometrycznej.
Podpowiedź: jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ (1+3i)^2,}\) bo ta liczba podniesiona do potęgi szóstej da \(\displaystyle{ (1+3i)^{12}.}\)
Podpowiedź: jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ (1+3i)^2,}\) bo ta liczba podniesiona do potęgi szóstej da \(\displaystyle{ (1+3i)^{12}.}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Rozwiąż równanie
Bo cała korzyść z zapisania liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej polega na tym, że jeśli zna się kąt tej liczby, to wystarczy pomnożyć go przez wykładnik i wyliczyć \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\) otrzymanego kąta.
Używając funkcji \(\displaystyle{ \arcsin}\) i \(\displaystyle{ \arccos}\) tracimy tę korzyść, bo zostają wyrażenia postaci \(\displaystyle{ \sin \left[ 12 \arcsin \frac{3}{\sqrt{10}} \right].}\) Jedynym sensownym sposobem uproszczenia tego wyrażenia jest skorzystanie ze wzoru na \(\displaystyle{ \sin 12x,}\) co sprowadza się do obliczenia \(\displaystyle{ (1+3i)^{12}}\) w normalny sposób.
Chyba, że znasz jakąś lepszą metodę.
Używając funkcji \(\displaystyle{ \arcsin}\) i \(\displaystyle{ \arccos}\) tracimy tę korzyść, bo zostają wyrażenia postaci \(\displaystyle{ \sin \left[ 12 \arcsin \frac{3}{\sqrt{10}} \right].}\) Jedynym sensownym sposobem uproszczenia tego wyrażenia jest skorzystanie ze wzoru na \(\displaystyle{ \sin 12x,}\) co sprowadza się do obliczenia \(\displaystyle{ (1+3i)^{12}}\) w normalny sposób.
Chyba, że znasz jakąś lepszą metodę.