Rozwiąż równanie

[Wojtuce]

\(\displaystyle{ z^{6} = (1 + 3i)^{12}}\)

Prosiłbym o rozwiązanie krok po kroku, chciałem to jakoś sprowadzić do pierwiastków 6-tego stopnia, ale już na samym początku zaczynają się schody, bo moduł wychodzi 1o :/

[jutrvy]

No to ok - dobrze próbowałeś, co Ci się nie podoba w liczbie \(\displaystyle{ \sqrt{10^{12}}}\)?

[Wojtuce]

Argument \(\displaystyle{ 1 + 3i}\) mi się nie podoba.

[jutrvy]

No... to nie jest argument... tylko liczba.

Zacznij od tego, żeby zapisać liczbę \(\displaystyle{ w = (1+3i)}\) w postaci trygonometrycznej, ok?

Później podnieś ją do potęgi dwunastej.

Następnie policz pierwiastki szóstego stopnia z liczby \(\displaystyle{ w^{12}}\), ok?

[Dasio11]

Ale ta liczba nie zapisuje się w sensowny sposób w postaci trygonometrycznej.

Podpowiedź: jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ (1+3i)^2,}\) bo ta liczba podniesiona do potęgi szóstej da \(\displaystyle{ (1+3i)^{12}.}\)

[jutrvy]

Czemu nie... przecież istnieją funkcje \(\displaystyle{ \arcsin, \arccos}\).

[Dasio11]

Bo cała korzyść z zapisania liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej polega na tym, że jeśli zna się kąt tej liczby, to wystarczy pomnożyć go przez wykładnik i wyliczyć \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\) otrzymanego kąta.
Używając funkcji \(\displaystyle{ \arcsin}\) i \(\displaystyle{ \arccos}\) tracimy tę korzyść, bo zostają wyrażenia postaci \(\displaystyle{ \sin \left[ 12 \arcsin \frac{3}{\sqrt{10}} \right].}\) Jedynym sensownym sposobem uproszczenia tego wyrażenia jest skorzystanie ze wzoru na \(\displaystyle{ \sin 12x,}\) co sprowadza się do obliczenia \(\displaystyle{ (1+3i)^{12}}\) w normalny sposób.
Chyba, że znasz jakąś lepszą metodę.