Liczby zespolone

[karolcia_23]

Hej powie ktoś jak ruszyć takie zadanie?
Zad. Oblicz wykorzystując wzory de'Moivre'a
\(\displaystyle{ -\cos\left( \frac{\pi}{7}\right)+i \sin\left( \frac{\pi}{7}\right)}\)
wzór de'Moivre'a
\(\displaystyle{ z^n=\left| z\right|^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))}\)

[Michalinho]

Powinno być dobrze.
\(\displaystyle{ -\cos\left( \frac{\pi}{7}\right)+i \sin\left( \frac{\pi}{7}\right)=-(\cos\left( -\frac{\pi}{7}\right)+i \sin\left( -\frac{\pi}{7}\right))=-(\cos \pi +i \sin\pi )^{-\frac{1}{7}}=-(-1)^{-\frac{1}{7}}=1}\)

[yorgin]

Michalinho, ten wzór działa tylko dla wykładników naturalnych!

karolcia_23, co masz dokładnie policzyć? Obecnie nie widać tutaj żadnego działania na podanej liczbie.

[Michalinho]

Ale czy idąc od końca i stosując wzór de de'Moivre'a nie dojdziemy do tego samego?
Chodzi mi o to:
\(\displaystyle{ (\cos \left(-\frac{\pi}{7}\right) + i\sin \left(-\frac{\pi}{7}\right) )^{-7}=\cos \pi + i\sin \pi=-1}\)

[yorgin]

Nie. Wypisałeś dwie fałszywe równości:

\(\displaystyle{ -(\cos\left( -\frac{\pi}{7}\right)+i \sin\left( -\frac{\pi}{7}\right))=-(\cos \pi +i \sin\pi )^{-\frac{1}{7}}}\)

\(\displaystyle{ -(-1)^{-\frac{1}{7}}=1}\)

Obie są równościami między liczbami zespolonymi a zbiorami pierwiastków siódmego stopnia z liczby zespolonej.

[Michalinho]

Ok. Rozumiem, zbyt mocno mój umysł jest przyzwyczajony do liczb rzeczywistych