Granica z liczbą e

[Arytmetyk]

Wykazać, że

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{z}{n} \right) ^{n}=e^z}\)

Wsk. Badać granicę modułów i argumentów.

Korzystając z:

\(\displaystyle{ z=x+yi}\)

\(\displaystyle{ e^z=e^{x} \left( \cos y +i \sin y \right)}\)

udało mi się zrobić już cześć z modułem, że zbiega do \(\displaystyle{ e^{x}}\)

Problem mam z granicą argumentów. Jak wydobyć z tej postaci początkowej argument?

Z góry dziękuje za pomoc.

[janusz47]

Z definicji liczby e
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left(1 + \frac{z}{n}\right)^{n}= \lim_{n\to \infty}\left(\left(1+ \frac{1}{\frac{n}{z}}\right)^{\frac{n}{z}}\right)^{z}= e^{z}.}\)

[Arytmetyk]

Gdybym mógł z tego korzystać to wskazówka nie była by potrzebna. \(\displaystyle{ e^{z}}\) definiowaliśmy jako szereg.