Postać trygonometryczna liczby zespolonej

[nom_45]

Cześć

Trafiłem u siebie na ścianę ponieważ chce zamienić postać algebraiczną \(\displaystyle{ z = 1 - \sqrt{3}i}\) na trygonometryczną.
Po obliczeniu modułu itd. otrzymujemy

\(\displaystyle{ \cos \partial = \frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ \sin \partial = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

No i cóż Pan wie, że to \(\displaystyle{ \frac{5}{3}}\)

Ja niestety nie wiem. Chciałbym to koniecznie nadrobić. Czy ktoś mógłby mnie naprowadzić skąd wynik wyżej? Jak to logicznie odczytać?

[mostostalek]

że co jest \(\displaystyle{ \frac{5}{3}}\)?

[nom_45]

Znaczy on bierze skądś ten wynik, a wynikiem jest

\(\displaystyle{ z = 2 \left( \cos \frac{5}{3} \pi + i\sin \frac{5}{3} \pi \right)}\)

Nie do końca umiem obliczyć miarę konta \(\displaystyle{ \partial}\) skąd to się bierze

[a4karo]

A jaki kąt ma sinus równy \(\displaystyle{ -\sqrt{3}/2}\) i kosinus równy \(\displaystyle{ 1/2}\)? Poszukaj w odpowiedniej ćwiartce.

a... i koniecznie musisz wiedzieć, że 90 stopni to \(\displaystyle{ \pi/2}\)

[mostostalek]

można jeszcze tak:

\(\displaystyle{ \tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=-\sqrt{3}}\)

Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ \alpha}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0; 2\pi\right)}\) mamy \(\displaystyle{ \tg{\alpha}=-\sqrt{3}}\)?

[edit] no tak, są dwie takie wartości ale ze znaków sinusa i cosinusa możesz wyczytać która to ma być ćwiartka..
sinus jest ujemny w 3 i 4 ćwiartce natomiast cosinus dodatki w 1 i 4 ćwiartce..
Poszukiwania można zatem zawęzić do przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac{3\pi}{2};2\pi\right)}\)

[nom_45]

Opornie to mi idzie.

\(\displaystyle{ \cos \alpha}\) będzie w I ćwiartce? A jak mam odczytać kąt sin skoro jest ujemny? Która to będzie ćwiartka(Może pytanie banalne, ale nie wiem)?

[a4karo]

\(\displaystyle{ \cos \alpha}\) będzie w pierwszej ćwiartce? Odróżniasz kąt i wartośc funkcji trygonometrycznej tego kąta?

Pamiętasz wierszyk: w pierwszej ćwiartce wszystkie...

[nom_45]

Niestety ja tego nie widzę. Ponieważ nie mam pojęcia, co robić. Czy są jakieś materiały do tego? Ja w ogóle tych ćwiartek nie widzę, Jak obliczyć ten kąt.

[a4karo]

To sobie narysuj wykresy sinusa i kosinusa

[nom_45]

Patrzę się na ten wykres i niestety tego nie widzę.

[Kartezjusz]

Co jest nad osią, a co pod

[nom_45]

Temat do zamknięcia, bo nie ma to sensu. Nie widzę tego i koniec. Trudno. Być może przykład pomógłby. Ale tego tutaj nie można wymagać.

[Kartezjusz]

Narysuj bardzo dokładnie i jak moderator pozwoli to strzelił screenshota. Zaznaczyć miejsca zerowe

[mostostalek]

Z tych dwóch równań utworzył Ci się układ równań który musisz rozwiązać. Zadajesz sobie pytanie: gdzie mam szukać rozwiązań? Pewne jest, że jest to przedział \(\displaystyle{ \alpha \in [0; 2\pi)}\)..

Zagłębiasz się nieco bardziej.. Widzisz, że cosinus przyjął wartość dodatnią, natomiast sinus wartość ujemną..

Rysujesz sobie wykres cosinusa i zauważasz, że cosinus przyjmuje wartości dodatnie tylko w przedziałach \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right)}\)

Rysujesz sobie teraz oddzielnie wykres sinusa i sprawdzasz, gdzie sinus przyjmuje wartości ujemne.
Ano tylko w przedziale \(\displaystyle{ \alpha \in \left( \pi; 2\pi \right)}\)

Patrzysz teraz na część wspólną Twoich rozważań.. Widać, że w obu rozwiązaniach pokrywa się przedział \(\displaystyle{ \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right)}\)
Zawęziliśmy nasz obszar poszukiwań.

Sprawdzasz teraz dla jakiej wartości z naszego zbioru wartość cosinusa wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)? Wynosi ona tyle tylko dla \(\displaystyle{ \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}}\)

Sprawdzasz czy wartość sinusa w tym miejscu to faktycznie \(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Wychodzi na to, że się zgadza..

Jedynym kątem który zatem spełnia Twój układ równań jest kąt \(\displaystyle{ \alpha = \frac{5\pi}{3}}\)

-- 21 marca 2015, 12:21 --

Kolejny przykład do przećwiczenia:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin {\alpha}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos{\alpha}<0 \end{cases}}\)