Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
ms7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 290
Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 179 razy
Pomógł: 5 razy

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: ms7 »

Mam za zadanie zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej liczby spełniające równanie:

\(\displaystyle{ Arg(z \cdot 2i) = \frac{\pi}{4}}\)
Nie wiem czy dobrze rozumiem te zadanie.
Prześledźcie moje rozumowanie i oceńcie.

Jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ z=a+bi}\)
To mamy \(\displaystyle{ z \cdot 2i=2ai-2b}\)
Więc trzeba zaznaczyć liczby spełniające równanie \(\displaystyle{ Arg(-2b+2ai) = \frac{\pi}{4}}\).
Czyli spośród wszystkich liczb leżących na prostej nachylonej do dodatniej części \(\displaystyle{ OX}\) pod kątem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) muszę wybrać te które są postaci \(\displaystyle{ -2b+2ai}\).
Ponieważ wspomniana prosta leży w pierwszej ćwiartce to część rzeczywista liczby zespolonej musi być dodatnia, lecz to jest nie możliwe ponieważ mamy \(\displaystyle{ -2b}\) a \(\displaystyle{ b>0}\) z racji tego że rozpatrujemy dodatnią oś rzeczywistych, zatem nie ma czego zaznaczyc.

Dobrze to jest?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: yorgin »

Nie jest dobrze.

Skąd wziął Ci się argument \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)?

Dlaczego uważasz, że \(\displaystyle{ b>0}\)? Z ograniczenia na I ćwiartkę wynika, że \(\displaystyle{ \Re (2iz)>0}\) oraz \(\displaystyle{ \Im (2iz)>0}\).

Wskazówka:    
Trywialne rozwiązanie:    
ms7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 290
Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 179 razy
Pomógł: 5 razy

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: ms7 »

yorgin pisze:Nie jest dobrze.

Skąd wziął Ci się argument \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)?

Dlaczego uważasz, że \(\displaystyle{ b>0}\)
Poprawiłem post, zmieniłem kąt bo wkradła mi się literówka.
Co do \(\displaystyle{ b>0}\) to uważam tak, ponieważ w badanej liczbie \(\displaystyle{ -2b}\) jest częścią rzeczywistą więc \(\displaystyle{ -2b}\) musi być w pierwszej ćwiartce, a to jest nie możliwe dla dodatnich \(\displaystyle{ b}\).
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: yorgin »

Aha, teraz rozumiem.

Ale dla \(\displaystyle{ b<0}\) liczba \(\displaystyle{ -2b}\) jest dodatnia, więc jest co zaznaczać.
ODPOWIEDZ