Liczby zespolone - zadania

[jreek]

Witem mam wielki problem z kilkoma zadaniami. Sam nie dam rady ich rozwiązać, a dla kogoś kto 'w tym siedzi' zajmą pewnie kilka minut. Jakby sie ktoś zlitował : ) to oto ich treść.

1-
Liczba \(\displaystyle{ -1+i}\) jest pierwiastkiem stopnia piatego z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z_{1}}\) i równocześnie pierwiastkiem stopnia dziewiątego z liczby \(\displaystyle{ z_{2}}\). Znaleźć postać algebraiczną liczby \(\displaystyle{ z_{1} z_{2}}\)

2-
Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu: \(\displaystyle{ w(z) =z^{3} -z^{2} -iz + i}\) wiedząc że \(\displaystyle{ w(x) \in C[z]}\)

3-
Obliczyć \(\displaystyle{ \sqrt[4]{\frac{(1+i \sqrt{3})^{2}(1-i)^{2}}{( \frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2})^{5}}}}\)


4-
Znaleźćpunkt symetryczny do punkty \(\displaystyle{ A(2,-1,3)}\) względem prostej danej równaniami \(\displaystyle{ x=3t; y=5t-7; z=2t+2}\)

5-
Znaleźć prostą równoległą do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : x+2y-1 =0}\) i będącą symetralną odcinka o końcach \(\displaystyle{ A(1,2,-1);B(3,-2,3)}\)

6-
W ciele C rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ z^{2}+(1+4i)z-(5+i)=0}\)

Bardzo prosze o pomoc dla biednego studenta.
PS- nie jestem leniwy!! Ja po prostu nie rozumiem matematyki.
Pozdrawiam

Poprawiam temat i zapis. Calasilyar

[Lorek]

1.
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{z_1}=-1+i\\z_1=(-1+i)^5}\)
podobnie \(\displaystyle{ z_2=(-1+i)^9}\), a więc \(\displaystyle{ z_1z_2=(-1+i)^5(-1+i)^9=(-1+i)^14=[(-1+i)^2]^7=(-2i)^7=128i}\)

2.
\(\displaystyle{ z^3-z^2-iz+i=0\\z^2(z-1)-i(z-1)=0\\(z^2-i)(z-1)=0\\z^2=i\vee z=1\\\\z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\; z_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\; z_3=1}\)

6. To zwykłe kwadratowe: delta itp.

[Jopekk]

Co do trzeciego, to zapis nie jest zrozumiały.

2.

\(\displaystyle{ z^{3}-zi-z^{2}+i=(z-1)(z^{2}-i)=(z-1)(z+\sqrt{i})(z-\sqrt{i})}\)

4. Tworzymy wektor AB prostopadły do prostej przechodzący przez punkt A.

\(\displaystyle{ \vec{AB}=(3t-2;5t-6;2t-1)}\)

\(\displaystyle{ \vec{AB} \cdot \vec{kierunkowyprostej}=0}\) (produkt skalarny), czyli:

\(\displaystyle{ 3(3t-2)+5(5t-6)+2(2t-1)=38t-38=0}\), zatem \(\displaystyle{ t=1}\)

Zatem \(\displaystyle{ B=(3;-2;4)\ A=(2;-1;3)\ A'=(4;-3;5)}\), gdzie A' to szukany punkt.]

5.

Wektor AC prostopadły do płaszczyzny ma współrzędne (1+t; 2+2t;-1).
Znajdujemy punkt C:

\(\displaystyle{ 1+t+2(2+2t)-1=5t+4=0}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{-4}{5}}\)

\(\displaystyle{ C=( \frac{1}{5}; \frac{2}{5}; -1)}\)

Zatem \(\displaystyle{ A'=( \frac{-3}{5}; \frac{-6}{5}; -1)}\)

Analogicznie znajdujemy B', \(\displaystyle{ B'=(3 \frac{4}{5}; \frac{-2}{5}; 3)}\)

Żeby prosta przechodząca przez B' i A' była równoległa do płaszczyzny, to produkt skalarny wektora kierunkowego tej prostej i wektora normalnego (prostopadłego) do płaszczyzny musi być równy zero.

3.

\(\displaystyle{ cis\alpha=\cos\alpha+i\sin\alpha}\)

W postaci trygonometrycznej otrzymujemy:

\(\displaystyle{ (\frac{(2cis(\frac{\pi+6k\pi}{3}))^{2}((\sqrt{2}cis(\frac{-\pi+8k\pi}{4}))^{2}}{(cis(\frac{-\pi+12k\pi}{6})^{5})})^{\frac{1}{4}}}\)

Po skorzystaniu z własności cis'a otrzymujemy \(\displaystyle{ (8cis(\pi-2k\pi))^{\frac{1}{4}}=8^{\frac{1}{4}}cis(\frac{\pi-2k\pi}{4})}\)

Podstawiamy pod k, dowolne 4 liczby całkowite, aby otrzymać wszystkie cztery rozwiązania:
\(\displaystyle{ 8^{\frac{1}{4}}cis(\frac{\pi}{4}) \ 8^{\frac{1}{4}}cis(\frac{3\pi}{4}) \ 8^{\frac{1}{4}}cis(\frac{5\pi}{4}) \ 8^{\frac{1}{4}}cis(\frac{7\pi}{4})}\), co łatwo zamienić na postać algebraiczną.

Możesz sprawdzić przeliczenia:

\(\displaystyle{ cis(\alpha)=cis(\alpha+2k\pi)}\) dla całkowitych k;
\(\displaystyle{ (Acis(\alpha))^{n}=A^{n}cis(n\alpha)}\)
\(\displaystyle{ cis(\alpha) \cdot cis(\beta)=cis(\alpha+\beta)}\)
\(\displaystyle{ \frac{cis\alpha}{cis\beta}=cis(\alpha-\beta)}\)