Wielomian stopnia szóstego

[thrunder]

Mam problem z takim zadaniem:

\(\displaystyle{ s_{0}=1 + i \sqrt{2}}\) jest jednym z rozwiązań równania

\(\displaystyle{ s^{6}-2 s^{5}+5 s^{4} -4 s^{3} +8 s^{2} -4s+6 = 0}\)

wyznaczyć pozostałe rozwiązania i wybrać te, które należą do zbioru
\(\displaystyle{ \left\{ z \in C : \frac{ \pi }{2}< Arg z \le \pi \right\}}\)

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ f(s)=s^{6}-2 s^{5}+5 s^{4} -4 s^{3} +8 s^{2} -4s+6 = 0}\)

\(\displaystyle{ f(1- i\sqrt{2})}\) = ....?

[thrunder]

To też będzie 0, tylko jak znaleźć pozostałe?

[mol_ksiazkowy]

tylko jak znaleźć pozostałe?

no podzielic \(\displaystyle{ f(s)}\) przez \(\displaystyle{ s^2 -2s+3}\)

[thrunder]

A dlaczego akurat przez tyle? Wybacz ale w ogóle nie ogarniam

[Premislav]

thrunder, skoro \(\displaystyle{ 1 + i \sqrt{2}}\) jest pierwiastkiem tegoż wielomianu, to liczba \(\displaystyle{ 1-i\sqrt{2}}\), czyli sprzężenie tej pierwszej, też jest pierwiastkiem, jak już wskazał Ci mol_ksiazkowy. A więc ten wielomian można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ P(s) \cdot (s-(1+i\sqrt{2}))(s-(1-i\sqrt{2}))}\), gdzie \(\displaystyle{ P(s)}\) jest jakimś tam wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 4}\). Możemy go znaleźć, dzieląc wielomian z zadania przez
\(\displaystyle{ (s-(1+i\sqrt{2}))(s-(1-i\sqrt{2}))}\)

[thrunder]

A co z tymi argumentami? Wychodzą mi jakieś dziwne cos i sin

[mortan517]

Jak mniemam zad 1 termin 2

Pokaż nam swoje obliczenia.

[thrunder]

dokladnie

obliczenia:

\(\displaystyle{ s = \sqrt{i-1}}\)
\(\displaystyle{ x+iy = \sqrt{i-1}}\)

\(\displaystyle{ x^{2} - y^{2}=-1}\)
\(\displaystyle{ 2xy=1}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2}= \sqrt{2}}\)

dodaje stronami
\(\displaystyle{ 2x ^{2} = \sqrt{2} -1}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{ \sqrt{2}-1 }{2} \vee x= -\frac{ \sqrt{2}-1 }{2}}\)

wyznaczam \(\displaystyle{ y}\) i na tym się zatrzymuje

\(\displaystyle{ \left|s \right|= \sqrt[4]{2}}\)

[mortan517]

Masz, że \(\displaystyle{ 2x ^{2} = \sqrt{2} -1}\)

To skąd następna linijka?

[thrunder]

No tak, tam powinien być pierwiastek ale to jeszcze bardziej utrudnia sprawę

[mortan517]

Czemu utrudnia? Ty masz tylko wyliczyć \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) i sprawdzić w której ćwiartce ma to leżeć, a to już łatwo odgadnąć.