Elementy pierwiastka

jackie150 · Post autor: **jackie150** » 15 lut 2015, o 19:28

Witam.

Podać w postaci algebraicznej elementy pierwiastka:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{-27-27i}{i-1} }}\)

Nie jestem pewny, jak do tego podejść... Ktoś ma jakieś wskazówki?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 15 lut 2015, o 19:30

To co pod pierwiastkiem zamień na postać trygonometryczną.
elementy pierwiastka? Raczej po prostu pierwiastki.

jackie150 · Post autor: **jackie150** » 15 lut 2015, o 19:34

A pomiędzy stopniem pierwiastka i tym, co pod nim (ze wskazaniem na liczbę 27) nie ma związku? Chodzi mi o to, czy wcześniej nie mogę tego po prostu spierwiastkować. Wtedy dostałbym coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{-3+3i}{-i-1}}\) ???

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 15 lut 2015, o 19:37

Słucham? Liczb zespolonych się tak nie pierwiastkuje. Poza tym zbiór rozwiązan tego pierwiastka jest trójelementowy. Możesz jedynie własnie \(\displaystyle{ 27}\) wyrzucić przed pierwiastek.

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 15 lut 2015, o 19:38

Możesz uprościć to tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{-27-27i}{i-1} } = \sqrt[3]{ -27 \cdot \frac{1+i}{i-1} } = -3\sqrt[3]{ \frac{1+i}{i-1} }}\)

i liczyć dalej zgodnie ze wskazówkami podanymi wyżej.

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 15 lut 2015, o 19:50

możesz teraz podzielić to co pod pierwiastkiem, w mianowniku zostanie \(\displaystyle{ -2}\) i liczyć pierwiastki samego licznika zespolonego

jackie150 · Post autor: **jackie150** » 15 lut 2015, o 19:55

@Gouranga, możesz mi to rozpisać? Bo się pogubiłem Próbuję jakoś to wyliczyć, wychodzi mi moduł równy 729 i nie wiem zbytnio, jak wyliczyć z tego sin i cos:/

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 15 lut 2015, o 19:59

\(\displaystyle{ -3\sqrt[3]{ \frac{1+i}{i-1} } = -3 \sqrt[3]{ \frac{\left( 1+i\right)\left( i+1\right) }{-2} } = -3 \sqrt[3]{ \frac{\left( 1+i\right)^{2} }{-2} } = -3 \sqrt[3]{ \frac{1+2i-1 }{-2} } = -3 \sqrt[3]{-i}}\)

jackie150 · Post autor: **jackie150** » 15 lut 2015, o 20:11

Super, zaczynam łapać:-) !

Czyli pierwszy pierwiastek wynosi:

\(\displaystyle{ 1 \left( \cos \frac{3}{2} \pi \cdot \frac{1}{3} + i\sin \frac{3}{2} \pi \cdot \frac{1}{3} \right)}\) ? Po 'przekonwertowaniu' wyjdzie \(\displaystyle{ 0+i}\) <- to jest moje pierwsze miejsce zerowe?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 15 lut 2015, o 20:19

Prawie. Co z \(\displaystyle{ -3}\)

Prawde mówiąc lepiej wrzucić ją z powrotem pod pierwiastek po uproszczeniu rachunków i szukać pierwiastków.

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{27i}}\)

jackie150 · Post autor: **jackie150** » 15 lut 2015, o 20:33

Czyli mam

\(\displaystyle{ 3(\cos \frac{ \pi }{2} \cdot \frac{1}{3} + i\sin \frac{ \pi }{2} \cdot \frac{1}{3} )}\) ?

O dziwo, wynik jest ten sam, czyli 0+i ;p

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 15 lut 2015, o 20:40

Ogólnie, zbiór pierwiastków:

\(\displaystyle{ \left\{ 3\left(\cos\frac{ \frac{ \pi }{2}+2k \pi}{3} + i\sin \frac{ \frac{ \pi }{2}+2k \pi}{3} \right) : k \in \left\{ 0,1,2 \right\} \right\}}\)

jackie150 · Post autor: **jackie150** » 15 lut 2015, o 20:51

No tak. Następnym miejscem zerowym będzie:

\(\displaystyle{ \omega _{1} =0+i\left( \frac{cos2 \pi}{3} + \frac{isin2 \pi}{3}\right)=i\left( \frac{1}{3} + 0\right)}\),

z kolejnym tą samą zasadą. Wszystko dobrze?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 15 lut 2015, o 20:55

?

No nie za bardzo.

\(\displaystyle{ 3\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i}\)

Rozumiesz ten wzór?

jackie150 · Post autor: **jackie150** » 15 lut 2015, o 21:09

Oops... Już widzę mój błąd. Najpierw wyliczyłem \(\displaystyle{ \cos \frac{ \pi }{2}}\), a dopiero po tym pomnożyłem przez \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

Dobra, łapię. Czyli koniec końców, drugie miejsce zerowe:

\(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i\left( \frac{cos2 \pi}{3} + \frac{isin2 \pi}{3}\right)}\) ?
Rzecz jasna, po późniejszym sprowadzeniu do postaci algebraicznej (jak wymaga treść zadania)