pierwiastki wielomianu

[andrzej9555]

Sprawdzić, że liczba \(\displaystyle{ 1-i}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(z)=z^4-2z^3+5z^2-6z+6}\) ,a następnie znaleźć pozostałego jego pierwiastki zespolone.

Bardzo proszę o pomoc.

[szw1710]

Zważ, że Twój wielomian ma współczynniki rzeczywiste. W tej sytuacji, jeśli liczba \(\displaystyle{ 1-i}\) jest pierwiastkiem, to jej sprzężenie też jest pierwiastkiem (jest na to piękne twierdzenie z matematyki) i możesz sobie podzielić przez iloczyn \(\displaystyle{ (z-1+i)(z+1-i)}\) otrzymując trójmian kwadratowy, którego pierwiastki znajdziesz z dziecinną łatwością.

Zamiast obliczać \(\displaystyle{ w(1-i)}\) od razu dzieliłbym przez wskazany trójmian. Wyjdzie na to samo (z tw. Bézouta).

[Kacperdev]

szw1710, piękne i proste 375942.htm#p5287277

[szw1710]

W istocie - jest to jedno z piękniejszych twierdzeń z algebry. Za jego pomocą udowodnisz łatwo, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych rozkłada się na rzeczywiste czynniki stopnia co najwyżej drugiego.