Zilustruj zbiór na płaszczyźnie zespolonej

[bpawel10]

Zilustruj na płaszczyźnie zespolonej zbiór: \(\displaystyle{ A= \left\{ z \in \mathbb{C}: \left| z+ \left( \frac{1-i \sqrt{3} }{ \sqrt{2}+i \sqrt{2} } \right) ^{36} \right| \ge |z+i| \right\}}\)

Mam z tym problem, zamieniłem ten ułamek na postać algebraiczną \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4}+ \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}i}\), dalej policzyłem moduł \(\displaystyle{ |z|=2}\) i wartości \(\displaystyle{ \cos{\varphi}= \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{8}}\) i \(\displaystyle{ \sin{\varphi}= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{8}}\), i dalej nie wiem, co z tym zrobić. Podzieliłem to przez siebie i wyszło \(\displaystyle{ \tan{\varphi}=2- \sqrt{3}}\), ale dalej nie mam jak wyliczyć \(\displaystyle{ \varphi}\). Postać trygonometryczna jest mi potrzebna, żeby za pomocą wzoru de Moirre'a podnieść tę liczbę do potęgi 36.

Ktoś ma jakiś pomysł?

[Medea 2]

O matko i córko D: Ta szalona liczba pod potęgą jest nieprzyjemna. Jej kwadrat to

\(\displaystyle{ -\frac{i (1-i\sqrt{3})^2}{4}.}\)

[bartek118]

Podnieś do tej potęgi osobno licznik i osobno mianownik - wygląda na to, że wyjdzie dużo prościej. Wyciągnij jeszcze \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) z mianownika przed nawias.