Rysowanie rozwiązania w płaszczyźnie zespolonej.

[wirher]

Witam wszystkich. Od czasów liceum do was nie zaglądałem, ale niestety studia mnie przygniotły pewnymi zagadnieniami i muszę prosić was o pomoc
Otóż mam narysować rozwiązanie równania w płaszczyźnie zespolonej
\(\displaystyle{ |z-2|+|z+2|=4}\)
Spróbowałem podstawienia \(\displaystyle{ z = x + yi}\) i potem wyliczenia z tego modułu, ale dalsze pierwiastki mnie przerażają i boję się, że idę w złą stronę. Bardzo proszę o jakieś wskazówki.

[yorgin]

Interpretacją geometryczną równania

\(\displaystyle{ |z-a|+|z-b|=c}\)

jest elipsa o ogniskach \(\displaystyle{ a, b}\) oraz odległości pomiędzy ogniskami \(\displaystyle{ c}\).

Tutaj \(\displaystyle{ |a-b|=c}\), czyli elipsa degeneruje się do odcinka łączącego \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\).

Jeżeli szukasz rozwiązania algebraicznego, to jest to cierpliwe rozwiązywanie z podstawienie \(\displaystyle{ z=x+iy}\).

[wirher]

Czyli już jakaś grubsza akcja z tą elipsą
Dobra, spróbuję to zrobić algebraicznie.
\(\displaystyle{ |z-2i|+|z+2i|=4 ||^2}\)
\(\displaystyle{ (z-2i)^2 + 2|(z+2i)(z-2i)| +(z+2i)^2 = 16}\) i tu chyba mogę opuścić moduł (mam rację?)
\(\displaystyle{ z^2 - 4zi - 4 +2(z^2+4) + z^2 +4zi-4=16}\)
\(\displaystyle{ z^2 - 4zi - 4 +2z^2+8 + z^2 +4zi-4=16}\)
\(\displaystyle{ 4z^2=16}\)
\(\displaystyle{ z^2=4 \Rightarrow z =2 \vee z=-2}\)
Hmm?

[yorgin]

Hmm począwszy od początku jest źle...

Operacje, które wykonujesz, są nieuprawnione.

Jeżeli \(\displaystyle{ z=x+iy}\), to

\(\displaystyle{ |z-2i|=\sqrt{x^2+(y-2)^2}}\).

Podobnie drugi moduł.