Wyznaczyć pozostałe pierwiastki wielomianu

[djdave]

Hej. W środę sesja, a ja w plecy z matmą :/

Posiadam zadanie, którego za bardzo nie rozumiem:
Liczba \(\displaystyle{ 3+ j}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w(x) = x^{5} − 5x^{4} + 4x^{3} + 8x^{2} + 12x − 20}\). Wyznaczyć pozostałe pierwiastki wielomianu. Przedstawić obliczenia.

Wyżej przedstawiono prostą metodę, lecz nie jest ona na tyle prosta jak by się mogło wydawać. Nie wiem jak ją zastosować do tego zadania :/

[rafalpw]

Mając ten pierwiastek od razu wiesz też, że pierwiastkiem jest jego sprzężenie, czyli \(\displaystyle{ 3-j}\). Możesz zatem sobie ten wielomian podzielić przez \(\displaystyle{ \left( x-3-j\right) \left( x-3+j \right) =\left( \left( x-3\right)^2+1 \right)=\left( x^2-6x+10\right)}\) . Wtedy zostaje już tylko wielomian trzeciego stopnia.

[djdave]

\(\displaystyle{ \left( x^{3}+x ^{2} - 2 \right) \left( x ^{2} -6x +10\right) =-18}\)

Dla pierwszego nawiasu:
\(\displaystyle{ x^{3} + x^{2} -2 = -18}\)

\(\displaystyle{ x^{3} + x^{2} + 16 = 0}\)
Wyciągamy x przed nawias:
\(\displaystyle{ x(x^{2}+x)=-16}\)

Dla x przed nawiasem:
\(\displaystyle{ x = -16}\)
Dla nawiasu:
\(\displaystyle{ x^{2}+x +16 = 0}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{1}{2} \left( - \sqrt{65} -1 \right)}\)

\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{65} -1 \right)}\)

Dla drugiego nawiasu:
\(\displaystyle{ x^{2}-6x-10=-18}\)

\(\displaystyle{ x^{2}-6x+8=0}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = 2}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = 4}\)

Odp: Naszymi pierwiastkami są:
\(\displaystyle{ 3+j}\)

\(\displaystyle{ 3-j}\)

\(\displaystyle{ 16}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( - \sqrt{65} -1 \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left(\sqrt{65} -1 \right)}\)

\(\displaystyle{ 2}\)

\(\displaystyle{ 4}\)

Czy mógł byś sprawdzić poprawność tych wyników?
No i oczywiście dzięki wielkie za pomoc