Liczbę zesp. zapisać w postaci r(sin t + jcos t)

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
djdave
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 10 lut 2015, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Elbląg
Podziękował: 9 razy

Liczbę zesp. zapisać w postaci r(sin t + jcos t)

Post autor: djdave »

Hejka. Wrzucam tu te zadanko do sprawdzenia

Liczbę z = \(\displaystyle{ \sqrt{3} + j}\) zapisać w postaci r(cos t + j sin t). W tej samej postaci zapisać liczby:
\(\displaystyle{ (1) z^2}\)
\(\displaystyle{ (2) z/ \overline{z}}\)

Tak więc zaczniemy od zapisania liczby z w postaci r(cos t + j sin t):

\(\displaystyle{ z = \sqrt{3} +j}\)

\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{ \sqrt{3} ^{2} + 1 ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{3 + 1} = 2}\)

\(\displaystyle{ \cos f = \frac{a}{|z|} = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin f = \frac{b}{|z|} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ r = |z|}\)

Sprawdzamy własności kontów z tabeli:
[ciach - nieregulaminowy zapis]

Tak więc takie własności ma kont:
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\)

Podstawiamy to do wzoru i otrzymujemy wynik końcowy:
\(\displaystyle{ 2\left( \cos \frac{ \pi }{6} + j\sin \frac{ \pi }{6} \right)}\)


Analogicznie kolejne przykłady:
(1)
\(\displaystyle{ z ^{2} = \left( \sqrt{3} + j \right) ^{2} = 3+2 \sqrt{3}j +j ^{2} = 2+2 \sqrt{3}j}\)
\(\displaystyle{ |z ^{2}| = \sqrt{2 ^{2} + \left( 2 \sqrt{3} \right)^{2} } = \sqrt{4 + 12} = 4}\)
\(\displaystyle{ \cos = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

Wg. tabeli funkcji trygonometrycznych: \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\)
\(\displaystyle{ 4\left(\cos \frac{\pi }{6}+j\sin \frac{\pi }{6}\right)}\)

(2)
\(\displaystyle{ \frac{z}{\overline{z}}}\)

\(\displaystyle{ \overline{z} = \sqrt{3} - j}\)

\(\displaystyle{ \frac{z}{\overline{z}}=\frac{\sqrt{3}+j}{\sqrt{3}-j} \cdot \frac{\sqrt{3}+j}{\sqrt{3}+j}=\frac{3+2 \sqrt{3}j + j ^{2}}{3-j ^{2} }=\frac{2+2 \sqrt{3}j }{4}=\frac{1+\sqrt{3}j}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}j}\)

\(\displaystyle{ y = \frac{z}{\overline{z}}}\)

\(\displaystyle{ |y|= \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{1}{2} \sqrt{3} \right) ^{2}} = \sqrt{ \frac{1}{4}+ \frac{3}{4} } =1}\)

\(\displaystyle{ \cos f = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin f = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

Z tabelki: \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\)

\(\displaystyle{ 1\left( \cos \frac{ \pi }{3}+j\sin \frac{ \pi }{3} \right)}\)
Ostatnio zmieniony 10 lut 2015, o 19:41 przez djdave, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Igor V
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1605
Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 604 razy

Liczbę zesp. zapisać w postaci r(sin t + jcos t)

Post autor: Igor V »

a)Dla \(\displaystyle{ z}\) w postaci trygonometrycznej:
Powinno być raczej \(\displaystyle{ \cos(\phi)=\frac{a}{|z|}= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) ,a nie \(\displaystyle{ cos \frac{a}{|z|} = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\).Analogicznie z sinusem.Poza tym tabelka ,tabelką ,ale nie obejmuje ona kątów z poza pierwszej ćwiartki i co wtedy zrobisz ?

b)Do \(\displaystyle{ z^2}\) :
Zgubiłeś kąt \(\displaystyle{ \phi}\) ,poza tym argument powinien być chyba \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\)
Ponad to wygodniej się posługiwać w takich przypadkach wzorem Moviera ,bo jak będziesz musiał podnieść do np: 100 potęgi to już tak bezpośrednio tego nie zrobisz.

c)Do \(\displaystyle{ \frac{z}{\overline{z}}}\):
Argument \(\displaystyle{ \phi}\) znowu zgubiłeś
ODPOWIEDZ