równanie zespolone

[iissabell]

1) \(\displaystyle{ z ^{2} +i \sqrt{3} -i=0}\)
wynik podac w postaci algebraicznej
2)\(\displaystyle{ (z+3) ^{4} -16=0}\)
wynik podac w postaci algebraicznej i zaznaczyc na okregu na płaszczyznie zespolonej
3) \(\displaystyle{ (z-2) ^{4} -81=0}\)
wynik podac w postaci algebraicznej i zaznaczyc na okregu na płaszczyznie zespolonej

Jakby ktos mógł krok po kroku wytłumaczyc te zadania będe wdzięczna bo jutro mam egzamin.

[chris_f]

We wszystkich chodzi o policzenie pierwiastków zespolonych z jakiejś liczby.
Dla przykładu drugie.
\(\displaystyle{ (z+3)^4=16}\)
\(\displaystyle{ z+3=\sqrt[4]{16}}\)
\(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{16}-3}\)
No i teraz zadanie sprowadza się do policzenia pierwiastków (zespolonych) czwartego stopnia z 16.
Mamy
\(\displaystyle{ |16|=16,\ \cos\varphi=\frac{16}{16}=1,\ \sin\varphi=\frac{0}{16}=0,\Rightarrow \varphi=0}\)
I zgodnie ze wzorem mamy
\(\displaystyle{ \omega_0=\sqrt[4]{16}\left(\cos\frac{0+0}{4}+i\sin\frac{0+0}{4}\right)=2}\)
\(\displaystyle{ \omega_1=\sqrt[4]{16}\left(\cos\frac{0+2\pi}{4}+i\sin\frac{0+2\pi}{4}\right)=2i}\)
\(\displaystyle{ \omega_2=\sqrt[4]{16}\left(\cos\frac{0+4\pi}{4}+i\sin\frac{0+4\pi}{4}\right)=-2}\)
\(\displaystyle{ \omega_3=\sqrt[4]{16}\left(\cos\frac{0+6\pi}{4}+i\sin\frac{0+6\pi}{4}\right)=-2i}\)
Potem zapisujesz
\(\displaystyle{ z_0=2-3=-1}\)
\(\displaystyle{ z_1=2i-3=-1}\)
\(\displaystyle{ z_2=-2-3=-5}\)
\(\displaystyle{ z_3=-2i-3=-1}\)
To była postać algebraiczna.
Te rozwiązania leżą na okręgu o środku w \(\displaystyle{ (-3,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\).

Analogicznie rozwiązujesz pozostałe przykłady.