równanie zespolone

[dlawolfram1]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego równania

\(\displaystyle{ z^3 + \frac{2-2i}{i^7} = 0}\)

dochodzę do takiego momentu i nie wiem co dalej.

\(\displaystyle{ z^3 + \frac{2-2i}{-i} = 0}\)

\(\displaystyle{ z^3 + \frac{2-2i}{-i} * \frac{i}{i} = 0}\)

\(\displaystyle{ z^3 + \frac{2i-2i^2}{-i^2} = 0}\)

\(\displaystyle{ z^3 + \frac{2+2i}{1} = 0}\)

\(\displaystyle{ z^3 + 2 + 2i = 0}\)

\(\displaystyle{ z^3 = -2 -2i}\)

[niebieska_biedronka]

Skorzystaj z wzoru de Moivre'a.

[dlawolfram1]

wychodzi mi \(\displaystyle{ -16+16i}\), natomiast wolfram jako rozwiązanie podaje \(\displaystyle{ 1-i}\)

[niebieska_biedronka]

Pokaż, jak liczysz

[dlawolfram1]

[ciach - nieregulaminowy zapis]

[niebieska_biedronka]

Musisz policzyć pierwiastki z liczby \(\displaystyle{ -2-2i}\), a nie podnosić ją jeszcze do potęgi Chcemy obliczyć \(\displaystyle{ z}\), a Tobie wyszło \(\displaystyle{ z^9}\).
Skorzystaj z poniższej postaci:
\(\displaystyle{ z^{\frac{1}{n}}=|z|^{\frac{1}{n}}\left(\cos\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right),\quad k\in\{0,\ldots, n-1\}}\)

U Ciebie \(\displaystyle{ k}\) będzie się zmieniać od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2}\) (przyjmuje 3 wartości, bo tyle jest pierwiastków 3 stopnia).

[dlawolfram1]

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ w_{0} = \sqrt[3]{ \sqrt{8} } (cos \frac{ \frac{5}{4} + 2 * 0 \pi }{3} + isin\frac{ \frac{5}{4} + 2 * 0 \pi }{3})= \sqrt[6]{8}(cos \frac{5}{12} \pi + isin\frac{5}{12} \pi)}\)

\(\displaystyle{ w_{1} = \sqrt[3]{ \sqrt{8} } (cos \frac{ \frac{5}{4} + 2 * 1 \pi }{3} + isin\frac{ \frac{5}{4} + 2 * 1 \pi }{3})= \sqrt[6]{8}(cos \frac{13}{12} \pi + isin\frac{13}{12} \pi)}\)

\(\displaystyle{ w_{2} = \sqrt[3]{ \sqrt{8} } (cos \frac{ \frac{5}{4} + 2 * 2 \pi }{3} + isin\frac{ \frac{5}{4} + 2 * 2 \pi }{3})= \sqrt[6]{8}(cos \frac{7}{4} \pi + isin\frac{7}{4} \pi) =
\sqrt[6]{8}(cos(2 \pi - \frac{ \pi }{4} ) + isin(2 \pi - \frac{ \pi }{4}) = \sqrt[6]{8}(cos \frac{ \pi }{4} -isin \frac{ \pi }{4}) = \sqrt[6]{8}( \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} i)}\)



wychodzi mi tak

[niebieska_biedronka]

Dobrze. Zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt[6]{8} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i \right) = \sqrt[6]{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 1- i \right) = (2^3)^\frac{1}{6} \cdot \frac{2^\frac{1}{2}}{2} \left( 1- i \right) = 1-i}\).

Przy okazji, popraw zapis - zamiast \(\displaystyle{ cos \frac{ \frac{5}{4} + 2 * 1 \pi}{3}}\) powinno być \(\displaystyle{ \cos \frac{\frac{5}{4}\pi + 2 \cdot \pi}{3}}\).

[dlawolfram1]

ta jedynka w \(\displaystyle{ w_{1}}\) to tak dla formalności, jak leci wzór. Natomiast zastanawia mnie skąd biorą się jeszcze dwa pierwiastki jakie pokazuje wolfram czyli:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} ( - \sqrt[4]{-1} \sqrt{6} + (-1 + i))}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} ( \sqrt[4]{-1} \sqrt{6} + (-1 + i))}\)

[niebieska_biedronka]

Będą to te same pierwiastki, które Ty otrzymałeś, tyle że uproszczone. Należałoby skorzystać z wzorów trygonometrycznych (strzelałabym w sumę lub różnicę kątów, ale nie próbowałam liczyć).