równanie zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
iissabell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 8 lut 2015, o 17:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: polska

równanie zespolone

Post autor: iissabell »

\(\displaystyle{ z ^{3} + \frac{(2-2 \sqrt{3}) ^{15} }{4 ^{15} } =i}\)-- 9 lut 2015, o 18:44 --to \(\displaystyle{ z ^{3}}\) powinnam osobno rozpisac jako\(\displaystyle{ (x+iy) ^{3}}\) i liczyć z tego pierwiastki omega zero, jeden i dwa?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

równanie zespolone

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ z^3+\left( \frac{2-2 \sqrt{3} }{4} \right) ^{15}=i}\)
\(\displaystyle{ z^3+\left( \frac{1- \sqrt{3} }{2} \right) ^{15}=i}\)
\(\displaystyle{ z^3+\left( 1\left[ \cos ( \frac{- \pi }{3} ) +i \sin ( \frac{- \pi }{3} )\right] \right) ^{15}=i}\)
\(\displaystyle{ z^3+ 1 ^{15} \left[ \cos ( -5 \pi ) +i \sin (-5 \pi )\right] \right) =i}\)
\(\displaystyle{ z^3-1=i \\z^3=1+i \\z^3= \frac{1}{ \sqrt{2} } \left[ \cos ( \frac{ \pi }{4} ) +i \sin ( \frac{ \pi }{4} )\right] \\
z= \sqrt[3]{\frac{1}{ \sqrt{2} } \left[ \cos ( \frac{ \pi }{4} ) +i \sin ( \frac{ \pi }{4} )\right]
}}\)

Są trzy rozwiązania :
\(\displaystyle{ z _{0} = \frac{1}{ \sqrt[6]{2}} \left[ \cos ( \frac{ \pi }{12} ) +i \sin ( \frac{ \pi }{12} )\right]}\)
\(\displaystyle{ z _{1} = \frac{1}{ \sqrt[6]{2}} \left[ \cos ( \frac{ 9\pi }{12} ) +i \sin ( \frac{ 9\pi }{12} )\right]}\)
\(\displaystyle{ z _{2} = \frac{1}{ \sqrt[6]{2}} \left[ \cos ( \frac{ 17\pi }{12} ) +i \sin ( \frac{ 17\pi }{12} )\right]}\)
ODPOWIEDZ