Równanie zespolone

[Sprzedawca]

Witam, mam do zrobienia takie równanie:

\(\displaystyle{ \left( \sqrt[4]{32} \left( \sin \frac{\pi}{8} +i\cos \frac{\pi}{8} \right) z+1+i \right) ^{2}+z^{4}=0}\)

Na początku podniosłem pierwiastek do potęgi, zamieniłem ze wzorów redukcyjnych \(\displaystyle{ sin}\) na \(\displaystyle{ cos}\) i odwrotnie, oraz przedstawiłem liczbę \(\displaystyle{ z_{0}=1+i}\) w postaci trygonometrycznej. Otrzymałem to:

\(\displaystyle{ 4\sqrt{2} \left( \left( \cos \frac{3\pi}{8}+i\sin \frac{3\pi}{8} \right) z+\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4} \right) \right) ^{2}+z^{4}=0}\)

I chciałbym teraz móc dodać do siebie te liczby zespolone w tej postaci, a później ponieść do potęgi korzystając z wzoru \(\displaystyle{ de \ Moivre'a}\), ale nie wiem jak. Ktoś coś podpowie?

[buttonik]

Nie spotkałam się z dodawaniem zespolonych w postaci trygonometrycznej

[Sprzedawca]

No można jeszcze zapisać te sinusy i cosinusy tak: \(\displaystyle{ \cos \frac{3\pi}{8}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} , \sin \frac{3\pi}{8}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}\) Ale, czy opłaci się w to brnąć?