Oblicz pierwiastki stopnia szóstego z liczby \(\displaystyle{ \frac{z _{1} ^{23} }{z_{2}}}\) jeśli \(\displaystyle{ z_{1}= \frac{1+ \sqrt{3}i }{2}}\) a \(\displaystyle{ z_{2}= \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2}}\).
Zaczęłam robić coś takiego :
\(\displaystyle{ \frac{ (\frac{1+ \sqrt{3}i }{2}) ^{23} }{ \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2} } = \frac{(1+ \sqrt{3}i) ^{23} }{(-1+ \sqrt{3}i) \cdot 2 ^{22} }}\)
Czy tak powinnam to rozpisać ? Czy lepiej nie rozpisywać tego i zająć po prostu \(\displaystyle{ z_{1} ^{23}}\) itd ?
oblicz pierwiastki stopnia szóstego
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 13 kwie 2011, o 17:50
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 10 razy
oblicz pierwiastki stopnia szóstego
Osobno licznik osobno mianownik. Zapisz \(\displaystyle{ z_1}\)i \(\displaystyle{ z_2}\) w postaci trygonometrycznej. I później wykorzystaj wzór de Moivre'a
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 20 gru 2014, o 10:40
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
oblicz pierwiastki stopnia szóstego
więc tak \(\displaystyle{ (z_{1} ) ^{23} = ( \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} i ) ^{23}}\)
\(\displaystyle{ |z_{1}| = 1}\)
\(\displaystyle{ cos \partial = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \partial = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow \partial =60}\)
\(\displaystyle{ z_{1} ^{23} = (cos(23 \cdot 60) + i sin(23 \cdot 60)) = (cos 1380 + i sin 1380)}\)
Teraz mogę to zapisać że, jest to równoważne \(\displaystyle{ cos 300 + isin 300 = cos \frac{5}{3} \pi + isin \frac{5}{3} \pi = cos \frac{2}{3} \pi +isin \frac{2}{3} \pi}\) ? (bo o ile dobrze pamiętam, można sobie o cały obrót 'zmniejszać'
A co do \(\displaystyle{ z_{2}}\) , to moduł wynosi \(\displaystyle{ 1}\) , więc
\(\displaystyle{ cos \partial = \frac{-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \partial = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
i teraz pytanie jaki kąt to będzie ? \(\displaystyle{ 120}\) stopni ?
\(\displaystyle{ z_{2} = (cos 120 + isin 120)= cos \frac{2}{3} \pi + isin \frac{2}{3} \pi}\)
Poproszę o sprawdzenie, czy do tej pory dobrze zrobiłam.
\(\displaystyle{ |z_{1}| = 1}\)
\(\displaystyle{ cos \partial = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \partial = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow \partial =60}\)
\(\displaystyle{ z_{1} ^{23} = (cos(23 \cdot 60) + i sin(23 \cdot 60)) = (cos 1380 + i sin 1380)}\)
Teraz mogę to zapisać że, jest to równoważne \(\displaystyle{ cos 300 + isin 300 = cos \frac{5}{3} \pi + isin \frac{5}{3} \pi = cos \frac{2}{3} \pi +isin \frac{2}{3} \pi}\) ? (bo o ile dobrze pamiętam, można sobie o cały obrót 'zmniejszać'
A co do \(\displaystyle{ z_{2}}\) , to moduł wynosi \(\displaystyle{ 1}\) , więc
\(\displaystyle{ cos \partial = \frac{-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \partial = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
i teraz pytanie jaki kąt to będzie ? \(\displaystyle{ 120}\) stopni ?
\(\displaystyle{ z_{2} = (cos 120 + isin 120)= cos \frac{2}{3} \pi + isin \frac{2}{3} \pi}\)
Poproszę o sprawdzenie, czy do tej pory dobrze zrobiłam.
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 20 gru 2014, o 10:40
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
oblicz pierwiastki stopnia szóstego
jak policzyć w takim przypadku pierwiastki skoro wynikiem dzielenia \(\displaystyle{ \frac{ z_{1} ^{23} }{ z_{2} } = 1}\) ? Bo to się skróci tak ?