oblicz pierwiastki stopnia szóstego

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
natzdw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 20 gru 2014, o 10:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

oblicz pierwiastki stopnia szóstego

Post autor: natzdw »

Oblicz pierwiastki stopnia szóstego z liczby \(\displaystyle{ \frac{z _{1} ^{23} }{z_{2}}}\) jeśli \(\displaystyle{ z_{1}= \frac{1+ \sqrt{3}i }{2}}\) a \(\displaystyle{ z_{2}= \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2}}\).

Zaczęłam robić coś takiego :

\(\displaystyle{ \frac{ (\frac{1+ \sqrt{3}i }{2}) ^{23} }{ \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2} } = \frac{(1+ \sqrt{3}i) ^{23} }{(-1+ \sqrt{3}i) \cdot 2 ^{22} }}\)

Czy tak powinnam to rozpisać ? Czy lepiej nie rozpisywać tego i zająć po prostu \(\displaystyle{ z_{1} ^{23}}\) itd ?
buttonik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 13 kwie 2011, o 17:50
Płeć: Kobieta
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 10 razy

oblicz pierwiastki stopnia szóstego

Post autor: buttonik »

Osobno licznik osobno mianownik. Zapisz \(\displaystyle{ z_1}\)i \(\displaystyle{ z_2}\) w postaci trygonometrycznej. I później wykorzystaj wzór de Moivre'a :-)
natzdw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 20 gru 2014, o 10:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

oblicz pierwiastki stopnia szóstego

Post autor: natzdw »

więc tak \(\displaystyle{ (z_{1} ) ^{23} = ( \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} i ) ^{23}}\)

\(\displaystyle{ |z_{1}| = 1}\)

\(\displaystyle{ cos \partial = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \partial = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow \partial =60}\)

\(\displaystyle{ z_{1} ^{23} = (cos(23 \cdot 60) + i sin(23 \cdot 60)) = (cos 1380 + i sin 1380)}\)

Teraz mogę to zapisać że, jest to równoważne \(\displaystyle{ cos 300 + isin 300 = cos \frac{5}{3} \pi + isin \frac{5}{3} \pi = cos \frac{2}{3} \pi +isin \frac{2}{3} \pi}\) ? (bo o ile dobrze pamiętam, można sobie o cały obrót 'zmniejszać'

A co do \(\displaystyle{ z_{2}}\) , to moduł wynosi \(\displaystyle{ 1}\) , więc
\(\displaystyle{ cos \partial = \frac{-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \partial = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
i teraz pytanie jaki kąt to będzie ? \(\displaystyle{ 120}\) stopni ?

\(\displaystyle{ z_{2} = (cos 120 + isin 120)= cos \frac{2}{3} \pi + isin \frac{2}{3} \pi}\)

Poproszę o sprawdzenie, czy do tej pory dobrze zrobiłam.
buttonik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 13 kwie 2011, o 17:50
Płeć: Kobieta
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 10 razy

oblicz pierwiastki stopnia szóstego

Post autor: buttonik »

Jest dobrze Teraz dzielisz te liczby. I na końcu ten pierwiastek robisz
natzdw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 20 gru 2014, o 10:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

oblicz pierwiastki stopnia szóstego

Post autor: natzdw »

jak policzyć w takim przypadku pierwiastki skoro wynikiem dzielenia \(\displaystyle{ \frac{ z_{1} ^{23} }{ z_{2} } = 1}\) ? Bo to się skróci tak ?
buttonik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 13 kwie 2011, o 17:50
Płeć: Kobieta
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 10 razy

oblicz pierwiastki stopnia szóstego

Post autor: buttonik »

No to albo: \(\displaystyle{ 1=\cos0+i\sin0}\)
albo: \(\displaystyle{ z^6=1\\ z^6-1=0}\)
i można rozkładać, że wzorów skróconego mnożenia
ODPOWIEDZ