Równania zespolone

[deyna18]

Witam w piatek mam sesje a nie wiem jak poradzić sobie z tym zadaniem.
\(\displaystyle{ z^2=2+4i}\)
Dochodze do połowy i się zatrzymuje. Pomóżcie.

[chris_f]

Co to znaczy do połowy?
Potrafisz policzyć pierwiastki z \(\displaystyle{ 2+4i}\)?
Jeżeli nie, to dobrze i od razu podpowiem, że wzory na pierwiastki nie pomogą.
Pokaż co zrobiłeś.

[deyna18]

\(\displaystyle{ x^{2} - y^{2} =2}\)
\(\displaystyle{ 2xy=4}\)

[chris_f]

To jest standardowy układ (zawsze taki powstaje). Rozwiązuje się go również standardowo.
Z drugiego równania wyznaczamy np.
\(\displaystyle{ y=\frac{2}{x}}\)
wstawiamy do pierwszego
\(\displaystyle{ x^2-\frac{4}{x^2}=2}\)
\(\displaystyle{ x^4-2x^2-4=0}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ x^2=t}\)
\(\displaystyle{ t^2-2t-4=0}\)
(zawsze wyjdzie równanie kwadratowe o dodatniej delcie)
\(\displaystyle{ \Delta=20\Rightarrow \sqrt{\Delta}=2\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ t_1=\frac{2-2\sqrt{5}}{2}=1-\sqrt{5},t_2=\frac{2+2\sqrt{5}}{2}=1+\sqrt{5}}\)
Pierwsze rozwiązanie odrzucamy (zawsze tak będzie), z drugiego dostajemy
\(\displaystyle{ y=\pm\sqrt{1+\sqrt{5}}}\)
i odpowiednie dwie wartości \(\displaystyle{ x}\).
Po usunięciu niewymierności z mianownika dostaniemy dwa sprzężone pierwiastki, dające szukane rozwiązania.

[deyna18]

a dlaczego tam gdzie jest \(\displaystyle{ x^{2} = t}\) usunelismy potęgi z 4 na druga itd..

[chris_f]

Bo \(\displaystyle{ x^4=(x^2)^2=t^2}\) no i oczywiście \(\displaystyle{ x^2=t}\).

[deyna18]

Czyli po usunieciu niewymierności bedziemy mieli \(\displaystyle{ 1+5}\) ??

[chris_f]

Nie bardzo rozumiem. Chociaż trochę zamieszałem z literkami, t wszystko jest OK.
Mamy
\(\displaystyle{ x=\sqrt{1+\sqrt{5}}\vee x=-\sqrt{1+\sqrt{5}}}\)
i odpowiednio
\(\displaystyle{ y=\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\vee y=-\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}}\)
Możesz oczywiście uwolnić się od niewymierności w mianownikach, ale nigdy nie dostaniesz czegoś postaci \(\displaystyle{ 1+5}\).