dowód wzoru

[[arwena]]

Wykazać, że \(\displaystyle{ \frac{ z_{1} }{ z_{2} }= z_{1} \frac{1}{ z_{2} }}\) jeżeli
\(\displaystyle{ z _{2} \neq 0}\)
\(\displaystyle{ z _{1}, z _{2} \in C}\)

[Seth Briars]

Wskazówki:

1. \(\displaystyle{ \frac{z_1}{z_2}}\) jest jedyną taką liczbą zespoloną \(\displaystyle{ w}\), która spełnia równość \(\displaystyle{ z_2 \cdot w=z_1}\) (warto to udowodnić jako lemat)

2. \(\displaystyle{ z \cdot 1=z}\)

3. \(\displaystyle{ z_2 \cdot \frac{1}{z_2}=1}\)

4. Mnożenie liczb zespolonych jest łączne.

5. Mnożenie liczb zespolonych jest przemienne.

[[arwena]]

a mogę tak zrobić
\(\displaystyle{ 1=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{ z_{1} }{ z_{1} }= \frac{ z_{2} }{ z_{2} }}\)
i teraz mnoże razy \(\displaystyle{ z_{1}}\) i dzielę przez \(\displaystyle{ z_{2}}\) ???

[Seth Briars]

\(\displaystyle{ \frac{ z_{1} }{ z_{1} }= \frac{ z_{2} }{ z_{2} }}\)

Nie - choćby dlatego, że może być \(\displaystyle{ z_{1}=0}\)

Na mocy 1. \(\displaystyle{ \frac{1}{z_2}}\) jest jedyną taką liczbą zespoloną \(\displaystyle{ w}\), że \(\displaystyle{ z_2 \cdot w=1}\). Mnożąc obustronnie przez \(\displaystyle{ z_1}\) równość \(\displaystyle{ z_2 \cdot \frac{1}{z_2}=1}\) i stosując łączność oraz przemienność mnożenia zespolonego otrzymujesz równość \(\displaystyle{ z_2\left(z_1 \cdot \frac{1}{z_2}\right)=z_1}\), co dowodzi (taka jest definicja), że \(\displaystyle{ z_1 \cdot \frac{1}{z_2}}\) jest ilorazem \(\displaystyle{ \frac{z_1}{z_2}}\), a to dowodzi tezy.