Co z tym pierwiastkiem? Płaszczyzna zespolona.

Skyler · Post autor: **Skyler** » 2 lut 2015, o 17:13

Cześć. Przygotowuję się do egzaminu rozwiązując zadania z ubiegłych lat i mam pewien problem następującym zadaniem:
Na płaszczyźnie zespolonej narysuj rozwiązania równania \(\displaystyle{ |z-i|+|z+i|=2}\)
Wszystko pięknie, podstawiam za z \(\displaystyle{ x+yi}\), liczę moduły, podnoszę obustronie do kwadratu i... za nic nie mogę pozbyć się pierwiastka który powstaje z 2ab (ze wzoru skróconego mnożenia \(\displaystyle{ \left(a+b \right)^{2}}\)). Byłby ktoś w stanie coś poradzić lub przedstawić rozwiązanie zadania? Pozdrawiam i z góry dziękuję za pomoc.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 2 lut 2015, o 17:24

Tak na oko to odcinek o końcach w punktach \(\displaystyle{ 0+i}\) oraz \(\displaystyle{ 0-i}\)

Edit :
Tu masz bardzo podobne: 332869.htm

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 2 lut 2015, o 17:25

Popatrz na to zadanie inaczej. To równanie mówi nam tyle, że suma odległości pewnej liczby \(\displaystyle{ z}\) od \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\). Ale zobacz, że odległość między \(\displaystyle{ i}\) a \(\displaystyle{ -i}\) już wynosi dwa.

Skyler · Post autor: **Skyler** » 2 lut 2015, o 17:31

Racja, jeżeli spojrzeć na to z tej strony wydaje się to oczywiste, jednak sam rysunek raczej nie zadowoli w takim przypadku wykładowcy. Czy mogę w jakiś sposób dojść do tego matematycznie?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 2 lut 2015, o 20:14

Wydaje mi się, że można by tu skorzystać z nierówności trójkąta wykluczając wszystkie \(\displaystyle{ z}\) poza osi urojonej.

Bo, gdy \(\displaystyle{ z}\) nie leży na osi urojonej, to oznacza, że \(\displaystyle{ |z-i|+|z+i| > \left| i-(-i)\right| =2}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 2 lut 2015, o 20:29

Kacperdev pisze:Wydaje mi się, że można by tu skorzystać z nierówności trójkąta wykluczając wszystkie \(\displaystyle{ z}\) poza osi urojonej.

Bo, gdy \(\displaystyle{ z}\) nie leży na osi urojonej, to oznacza, że \(\displaystyle{ |z-i|+|z+i| > \left| i-(-i)\right| =2}\)

Ale nie chcesz twierdzić, że jak leży na tej osi, to zachodzi równość?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 2 lut 2015, o 20:33

Chcę twierdzić, że rozwiązaniem jest odcinek na częsci urojonej między \(\displaystyle{ -i}\) a \(\displaystyle{ i}\). Ten zabieg z warunkiem trójkąta ma zawęzić grono podejrzanych.

Rozpatrywanie samej osi wydaje mi się już proste.