Liczby zespolone na płaszczyźnie

[kupiso]

Witajcie. Mam problem z dwoma zadaniami, niby banalne, ale coś jest nie tak...
Muszę wyznaczyć na płaszczyźnie:

1. \(\displaystyle{ Re \frac{z}{z-1} <1}\)

2. \(\displaystyle{ Im \frac{z-1}{z+1} >1}\)

[SlotaWoj]

Podstaw \(\displaystyle{ z=x+yi}\) i będziesz miał nierówności dwóch zmiennych.

[kupiso]

\(\displaystyle{ Re\frac{x + iy}{x + iy -1} <1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{x-1} <1}\)
Tak to ma być, skoro potrzebna Nam część rzeczywista???

[musialmi]

Nie. Zapisz to: \(\displaystyle{ \frac{x + iy}{x + iy -1}}\) w postaci takiej, żebyś mógł NAPRAWDĘ odczytać część rzeczywistą i urojoną.

[kupiso]

musialmi gdybyś mi to rozpisał to byłbym bardzo wdzięczny, wychodzą mi jakieś dziwne wyrażenia, z którymi nie potrafię sobie poradzić. Z góry dziękuję

[kalwi]

Policz

\(\displaystyle{ \frac{x + iy}{x + iy -1} \cdot \frac{x-1 - iy }{x-1 - iy}}\)

i napisz co z tego Ci wyjdzie

[kupiso]

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-x+y^{2}-iy}{x^{2}-2x+1+y^{2}}}\)

Coś takiego

[kalwi]

Na oko jest ok. I teraz możesz oddzielić część rzeczywistą od urojonej.

[kupiso]

Tak już teraz wiem, wychodzi wynik dobry, po prostu nie zorientowałem się, że "1" trzeba dać do części rzeczywistej. Dzięki wielkie

[SlotaWoj]

Do Kupiso:
Ty musisz wiedzieć co zrobiłeś, aby był z tego pożytek w przyszłości. Otóż po podstawieniu za \(\displaystyle{ z}\) otrzymujesz ułamek, który mnożysz przez \(\displaystyle{ 1}\), też zapisane w postaci ułamka, ale o takim samym liczniku co mianownik. Jeżeli w mianowniku tegoż będziesz miał liczbę sprzężoną do mianownika ułamka wyjściowego, to po ich wymnożeniu w mianowniku ułamka wynikowego nie będziesz miał części urojonej, a to oznacza, że na podstawie licznika będzie mógł podzielić całość na część rzeczywistą i urojoną. Od tej chwili możesz już zapomnieć, że zadanie dotyczy liczb zespolonych.