Witam, mam problem z takim zadaniem: Liczbę \(\displaystyle{ z =\sqrt{3} + j}\) zapisać w postaci \(\displaystyle{ r\left(\cos t + j \sin t \right)}\). W tej samej postaci zapisać liczby:
a) \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\)
b) Sprzężenie \(\displaystyle{ z}\)
Proszę o wyjaśnienie tych dwóch podpunktów.
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Ostatnio zmieniony 29 sty 2015, o 10:15 przez Kacperdev, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Polecenie brzmi, by liczbę zespoloną w postaci algebraicznej zamienić na postać trygonometryczną. Znasz jakieś wzory na to? Jakaś interpretacja geometryczna?
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Po zamianie na tą postać trygonometryczną równanie jest takie: \(\displaystyle{ z=2(cos\frac{ \pi }{6}+ jsin\frac{ \pi }{6}}\)). (Kąty wziąłem ze wzoru \(\displaystyle{ sina = \frac{b}{|z|}}\) i \(\displaystyle{ cosa =\frac{a}{|z|}}\). Tylko nie wiem jak osiągnąć teraz z tego sprzężenie i ten ułamek.
-
Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Teraz już możesz zostać w postaci trygonometrycznej i na niej bazować.
Sprzężenie możesz podać z miejsca jeżeli potrafisz zinterpretować je geometrycznie (symetria względem osi rzeczywistej).
Odwrotność także. Znasz \(\displaystyle{ z}\) oraz wiadomo, że \(\displaystyle{ z \cdot \frac{1}{z} =1}\)
zatem szukam takiej liczby zespolonej aby pomnożona przez naszego \(\displaystyle{ z}\) dała \(\displaystyle{ 1}\).
Teraz wystarczy skorzystać z własności mnożenia liczb zespolonych oraz wiedzy, że \(\displaystyle{ 1 = 1\left( \cos 0 + j \sin 0\right)}\)
Sprzężenie możesz podać z miejsca jeżeli potrafisz zinterpretować je geometrycznie (symetria względem osi rzeczywistej).
Odwrotność także. Znasz \(\displaystyle{ z}\) oraz wiadomo, że \(\displaystyle{ z \cdot \frac{1}{z} =1}\)
zatem szukam takiej liczby zespolonej aby pomnożona przez naszego \(\displaystyle{ z}\) dała \(\displaystyle{ 1}\).
Teraz wystarczy skorzystać z własności mnożenia liczb zespolonych oraz wiedzy, że \(\displaystyle{ 1 = 1\left( \cos 0 + j \sin 0\right)}\)
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Z odwrotnością sobie już poradzę, dziękuję. A jeśli chodzi o sprzężenie to da się je jakoś wyliczyć? ponieważ interpretacja geometryczna nie jest moją dobrą stroną.
-
Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Nie ma sensu tego liczyć. Liczbę zespoloną można interpretować jako punkty płaszczyzny, gdzie w postaci algebraicznej dosłownie część rzeczywista należy do osi iksów a urojona igreków.
zatem liczba \(\displaystyle{ z=x+jy}\) to punkt o współrzednej \(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) sprzężenie liczby \(\displaystyle{ z}\) to \(\displaystyle{ x-jy}\) czyli punkt \(\displaystyle{ \left( x,-y\right)}\) czyli widać, że odbijam symetrycznie punkt względem osi iksów.
Skoro nasza liczba \(\displaystyle{ z}\) z zadania jest nachylona pod kątem \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\) to sprzężenie będzie \(\displaystyle{ -30^{\circ} = 320^{\circ}}\)
zatem liczba \(\displaystyle{ z=x+jy}\) to punkt o współrzednej \(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) sprzężenie liczby \(\displaystyle{ z}\) to \(\displaystyle{ x-jy}\) czyli punkt \(\displaystyle{ \left( x,-y\right)}\) czyli widać, że odbijam symetrycznie punkt względem osi iksów.
Skoro nasza liczba \(\displaystyle{ z}\) z zadania jest nachylona pod kątem \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\) to sprzężenie będzie \(\displaystyle{ -30^{\circ} = 320^{\circ}}\)